Eigenvektor zum Eigenwert

[Prodef]

Hallo mein liebes Forum!
Als 1.: keine Latexskills vorhanden.
Es handelt sich um eine Aufgabe aus der Linearen Algebra.
Mir fällt leider kein gescheiter Anfang ein.
Also würde mir ein kleiner Denkanstoß schon helfen.
Glaube aber wieder, dass ich nur ein großes Brett vorm Kopf hab.
Aufgabe:
Es sei A = (aij) € M(3 x 3;R) eine orthogonale Matrix, so dass
detA = 1. Es sei A^2 =/ 1(ungleich). Man beweise, dass der folgende Vektor ein
Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist:
(a32-a23
a13-a31
a21-a12) (Spaltenvektor)
Hinweis: Es könnte helfen, wenn man sich zuerst klarmacht, dass die folgende
Gleichung gilt: a32 = -a11a23 + a13a21.

 

[EnimaN]

Wenn du den Eigenvektor schon hast, brauchst den doch nur an die Matrix multiplizieren und siehst, dann ob die Eigenwertgleichung stimmt.

 

[Prodef]

Wenns dann echt ist... Sag ich ja, Schiff vorm Kopf. Probier ich gleich mal aus und poste dann nochmal. Danke erstmal!

 

[Prodef]

Geht das wirklich so? Kann ich mir kaum vorstellen. Wäre irgendwie zu einfach.

 

[sweetie]

Natürlich geht das so.

Das ist schließlich die Definition eines EV (a,b,c) zu einem EW lamda bei gegebener Matrix A:

A * (a,b,c) = lambda * (a,b,c).

Wenn du nun beweisen sollst, dass ein gegebener Vektor tatsächlich EV ist, dann rechnet man dass "einfach" durch und zeigt es somit.

In der gegebenen Aufgabe solltest du natürlich noch einen Satz darüber verlieren, warum es wichtig ist, dass die Determinante hier als 1 gegeben ist und z.B. nicht 0 sein darf.

 

[Prodef]

Mhja okay. Hab ich jetzt verstanden. Ist es nicht egal was die det ist solange sie nicht 0 ist?

 

[sweetie]

Hier schon, ja.

Generell lassen sich, sofern man die Matrix als Darstellungsmatrix eines Homomorphismus auffasst, anhand von bestimmten Eigenschaften wie Determinante, orthogonal, unitär, etc. bestimmte Rückschlüsse auf das Abbildungsverhalten ziehen.

 

[Prodef]

So Aufgabe ist gelöst. Mir ist nur nicht ganz bewusst, warum der Hinweis gilt. Ich habe det A=1 berechnet und einfach, wie im Hinweis, nur die Terme mit a32 beachtet und diese dann gleich 1 gesetzt und umgeformt. Ist das legitim?
Oder doch Kreuzprodukt?

 

[RambosDad]

Zwischenfrage: Ein EW kann mehrere EV habn oder ?

 

[Prodef]

Ja, aber nicht andersrum.(glaub ich)

 

[sweetie]

Richtig, ein EW kann mehrere EV haben, aber nicht umgekehrt.

Jedem EW lässt sich eine algebraische sowie eine geometrische Vielfachheit zuordnen.

Dabei gilt immer gV < aV.

Die algebraische Vielfachheit ist gleich der Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom, die zu diesem EW gehört.

Also wenn das char. Polynom z.B. (x-3)^2 + (x+4) lautet, hat der EW 3 die aV 2 und der EW -4 die aV 1.

Die gV gibt an, welche Dimension der von den zum EW gehörenden EV aufgespannte Eigenraum besitzt. Dieser ist logischerweise mindestens 1 und maximal so groß wie die aV.

Im allgemeinen erhält man bei Eigenwertproblemen gV < aV, allerdings kann man immer den Eigenraum durch Berechnung von ergänzenden Vektoren zu den bereits bekannten Eigenvektoren zu einem Hauptraum vervollständigen, der genau die aV als Dimension aufweist.

Das ganze ist vor allem bei Differentialgleichungssystemen interessant bzw. wird hauptsächlich dort genutzt, um lineare DGL-Systeme der Form x' = A*x zu lösen. (x Vektor, A Matrix)

 

[mfb]

Bis auf wenige Spezialfälle (in Vektorräumen über dem Körper F_2) haben Eigenwerte sogar immer mehrere Eigenvektoren: Wenn man einen Eigenvektor mit einem Skalar multipliziert, erhält man einen neuen Eigenvektor.
Das ist noch unabhängig von der geometrischen und algebraischen Vielfachheit.

Da es für einen Eigenvektor v ein lambda aus dem Körper geben muss mit Av=lambda*v, ist der Eigenwert lambda eindeutig.


>> Ich habe det A=1 berechnet und einfach, wie im Hinweis, nur die Terme mit a32 beachtet und diese dann gleich 1 gesetzt und umgeformt.
Wieso setzt du irgendwelche Terme gleich 1? Was du weißt, ist lediglich 1=det(A)=... und die diversen Orthogonalitätsbedingungen.
Die muss man dann eben so lange auswerten, bis man von A*v mit dem gegebenen v wieder bei v landet.