Differential-Geometrie: Minkowski-Differenz und Gauß-Abbildung

[Ricky Spanish]

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[sesslor]

Wahrscheinlich kann ich dir nicht weiterhelfen, damit aber zumindest die Moeglichkeit besteht, muesstest du folgendes praezisieren:

Sind A und B Teilmengen von R^n?
Das Gaussbild, dass du moechstest ist wie genau definiert (das koennte man wohl herausfinden, ist mir aber jetzt zu viel Aufwand)?
Was meinst du mit Uebereinanderlegen? Die Vereinigung?
Was ist eine Stuetzfunktion?

Falls diese Fragen zu viel Unwissenheit erkennen lassen, kannst du mir auch mindere Qualifikation um an der Frage mitzuarbeiten unterstellen, und brauchst sie nicht zu beantworten.

 

[Ricky Spanish]

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[sesslor]

Eine genauere Definition als die bei Wikipedia habe ich bisher nicht gefunden. In sämtlichen Literatur-Quellen, die mir zur Zeit zur Verfügung stehen, wird das Ding immer "textuell" genau so in der Art definiert, wie es auch bei Wiki gemacht wird.

Die Definition passt schon denke ich, da ich aber nicht wusste, in wievielen Dimensionen wir uns befinden oder in welchen Raeumen, konnte ich nicht einordnen, welche Definition jetzt hier zutrifft. In dem Wiki-Artikel sind durchaus noch bei weitem allgemeinere Definitionen, und die sind teilweise echt kompliziert.

Zurueck zum Problem. Um das zu praezisieren, es geht um 2 kompakte, konvexe Mengen im R^3 (A, B) und deren Minkowski-Differenz M. Die !Oberflaechen! dieser 3 Mengen haben jetzt jeweils ein Abbild auf S^2 vermoege der Gaussabbildung. Du muesstest natuerlich wirklich erst mal definieren, was du mit Ueberlagerung meinst. Ich haette jetzt auf die Vereinigung der Bilder getippt, was teilweise Sinn zu machen scheint. Zumindest wuerde ich deinen Satz dann intuitiv als richtig beurteilen.

Ich glaube es hilft dir wirklich, zuerst mal exakt zu definieren, was du eigentlich zeigen willst.

 

[DJT]

Hallo,

so wie ich die Sachlage aus der Kalten verstanden habe, ist das Gauß-Bild die Menge aller normierten Hauptnormalenvektoren (nachzulesen unter http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor#Fl.C3.A4chen_im_dreidimensionalen_Raum ).

Was man nun zeigen müsste ist, dass dieser Normalenvektor der resultierenden Minkowski-Differenz lediglich von einer der beiden Grundmengen abhängt, weil dadurch natürlich einfach die Vereinigung der beiden Grund-Gauß-Bilder entsteht (was dann auch wirklich eine Vereinigung wäre, da wir das Gausß-Bild als Menge definiert hätten).

In der von dir gebrachten Übersicht der zwei Quader ist dies eigentlich gut zu sehen. Die Normalenvektoren der Seitenflächen entsprechen je einem einzelnen Punkt im Gauß-Bild und jede Kante ist eine Verbindungslinie auf der Kugeloberfläche zwischen eben den zwei Punkten, die von den anliegenden zwei Flächen gebildet werden. (das Problem an der Kante ist natürlich, dass der Normalenvektor hier nicht eindeutig ist, sondern sich innerhalb eines Kreisausschnittes befindet).
Nun kann man sich die Minkowski-Differenz anschauen und sieht, dass die jeweiligen Flächen auch wenn sie gestreckt wurden doch ihre ursprungliche Ausrichtung behalten und somit auch ihren Normalenvektor. Genauso behalten auch die Kanten ihre Richtung bei und resultieren im Gauß-Bild ebenfalls in solche Verbindungslinien wie sie bereits in den Grund-Gauß-Bildern zu beobachten waren.

Lange Rede kurzer Sinn, wenn man die allgemeine Aussage beweisen will, muss man mMn über die Parametrisierung und die entsprechenden Normalenvektoren gehen (mehr dazu im Wikipedia-Artikel).

 

[sesslor]

In der von dir gebrachten Übersicht der zwei Quader ist dies eigentlich gut zu sehen. Die Normalenvektoren der Seitenflächen entsprechen je einem einzelnen Punkt im Gauß-Bild und jede Kante ist eine Verbindungslinie auf der Kugeloberfläche zwischen eben den zwei Punkten, die von den anliegenden zwei Flächen gebildet werden. (das Problem an der Kante ist natürlich, dass der Normalenvektor hier nicht eindeutig ist, sondern sich innerhalb eines Kreisausschnittes befindet).

Das macht denke ich keinen Sinn. An der Kante gibt es einfach keinen Normalenvektor. Ansonsten waere das Gaussbild des Quaders immer die ganze Kugeloberflaeche S^2 (wenn man die 'Normalenvektoren' an der Ecken hinzunimmt, so wie du diese definiert hast).

 

[Ricky Spanish]

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[DJT]

Das macht denke ich keinen Sinn. An der Kante gibt es einfach keinen Normalenvektor. Ansonsten waere das Gaussbild des Quaders immer die ganze Kugeloberflaeche S^2 (wenn man die 'Normalenvektoren' an der Ecken hinzunimmt, so wie du diese definiert hast).

Na gut, die Ecken hab ich dann wohl in den Skat gedrückt ^^
Klar gibt es an einer Kante keinen eigentlichen Normalenvektor, da es ja auch die partiellen Ableitungen, welche man für die Berechnung braucht, im klassischen Sinne nicht gibt.

Na gut dann ist meine Idee mit der Parametrisierung nicht soo gut einsetzbar. Aber jetzt ist mir unklar, was das Gauß-Bild denn nun bei einer Fläche darstellen soll, welche keine globale Glattheit erfüllt. Bin etwas verwirrt. Vielleicht bin ich auch nicht so stark in der Geometrie drin.

 

[Ricky Spanish]

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[DJT]

Na gut, im paper steht jetzt natürlich direkt als Vorraussetzung, dass die Definitionsmenge ein Polyhedron sein muss.
Mein anfänglicher Gedankengang war ja eigentlich durchaus richtig. Eine ebene Fläche wird in einen einzelnen Punkt übersetzt, eine Kante entspricht einer Linie auf der Kugeloberfläche zwischen den beiden Punkten, die von den angrenzerden Flächen gebildet werden und ein Eckpunkt wird schlussendlich in eine Fläche übersetzt, die sich im Gauß-Bild zwischen gerade den Kanten befindet, die sich in gerade diesem Eckpunkt treffen.
Der Ansatz für den Beweis der Hinrichtung bleibt der Gleiche. Man muss zeigen, dass die Lage (also die Ausrichtung/der Normalenvektor/der Normalenkegel) der Flächen und Kanten in der Minkowski-Differenz gleich bleibt.