Choleskyzerlegung

[xornado]

Hallo liebes Forum,
ich beschäftige mich derzeit ein wenig mit der Choleskyzerlegung - CD(matrix) - einer symmetrischen Matrix A und frage mich, welche (finanzwirtschaftlichen) Anwendungen diese hat.

Falls jemand von Euch Ahnung hat, würde ich gern diskutieren.

Mir fällt spontan nur die Simulation von korrelierten Zufallszahlen ein:
sei x~N(0,I) und C die Korrelationsmatrix, s=diag(Sigma) eine diagonalmatrix die die Standardabweichungen aus C enthält. Ferner ist m ein Mittelwertvektor. Bezeichne L=CD(A) die nach Cholesky zerlegte Matrix A.

Dann ist

z=m+sLx ~ N(m,C).

Hieraus kann ich dann z.B. Multi-Asset Option, Baskets etc. simulieren, das bekomme ich hin.

Aber wie sieht es z.B. andersherum aus? Kann ich die über Cholesky irgendwelche heissen Schätzmodelle fahren? Was sind die dahinterliegenden Annahmen?

Beste Grüße und Hoffnung auf fesche Diskussionpartner,
X

 

[FORYOUITERRA]

Cholesky-Zerlegung wird oft andersrum genutzt: nicht um korrelierte normalverteilte Variablen zu erzeugen, sondern um korrelierte unkorreliert zu machen (zumindest theoretisch).

 

[Chili]

Jo, zB in Vars macht man genau das. Korrelierte Schocks --> Choleski um die unkorrelierten, strukturellen Schocks zu kriegen.

 

[xornado]

Hi Chili, Foryou
D.h. ich nehme normal(?)verteilte variablen an, bestimme die choleskyzerlegung C der korrelationsmatrix R und rechne dann mit

C^(-1)*X weiter um unkorrelierte daten zu erhalten? wie geht es dann weiter?

Beste Grüße und vielen Dank!
X

 

[FORYOUITERRA]

unkorreliertheit bedeutet bei der normalverteilung unabhängigkeit. das heißt, wenn du irgendein modell hast, wo du z.v. deine störterme unter einer nv-annahme (bzw für die anwendung irgendeines zentralen grenzwertsatzes) als unabhängig vorrausgesetzt werden, löst du einfach das modell, welches du mit C^(-1) durchmultipliziert hast.
die neuen error terme sind dann unabhängig und du kannst das modell auf die transformierten größen anwenden.

klassisches beispiel ist gls in der ökonometrie.