Cauchy-Folgen

[Toadesstern]

Kurze Verständnisfrage denn atm sitze ich vor hausaufgaben mit paar kleinigkeiten zu zeigen/widerlegen und bei mir ist fast jede Aussage wahr dementsprechend würde ich gerne mal abchecken ob ichs denn richtig verstanden habe.
(a(n)) := Folge a mit Index n in C.
a(n) := Das einzelne a mit Index n.

Wir haben eine "Vorraussetzung" die etwas impliziert und wir sollen zeigen ob es stimmt. Aufgabe a) wäre:
(a(n)) hat genau einen Häufungspunkt => (a(n)) ist beschränkt und konv.

Wenn das Ding exakt einen Häufungspunkt hat muss es doch monoton wachsend oder fallend sein und bei lim(a(n)) = a beschränkt sein, da es eben ne Cauchyfolge sein sollte (da es genau einen Häufungspunkt hat), da für alle E > 0 gilt |a(n) - a(m)| < E. Also sollte es stimmen oder?

b) wäre genau das selbe nur mit ner stärkeren Vorraussetzung. Nämlich:
(a(n)) ist beschränkt und hat einen Häufungspunkt => (a(n)) konv.

Da es genau das selbe ist, nur dass nun auch beschränkt als Vorraussetzung gilt vermute ich mal, dass ich oben nicht Recht habe und nicht jede Folge mit genau einem Häufungspunkt beschränkt ist und somit alles zusammenfällt?

 

[ROOT]

Also Häufungspunkte/Konvergenz haben mit Monotonie eigentlich nix zu tun.
zB. (-1)^n * e^-n
konvergiert gegen 0 für n nach unendlich, wechselt aber ständig das Vorzeichen.

Ähnlich solltest du auch zeigen können, dass 1 HP nicht für Beschränktheit und Konvergenz ausreicht. Zb. eine Folge, bei der jedes zweite Glied 0 ist (genau 1 HP 0) und die restlichen Gliedern gegen unendlich divergieren.

 

[Spanzdolf]

Ich war in Mathe nie so versiert, aber ich kann zumindest ein Gegenbeispiel für a) geben:

Falls eine Folge (a(n)) der Vorgabe
a(n):=1/n für gerade n bzw. a(n):=n für ungerade n
gehorcht, hat sie zwar genau einen Häufungspunkt in 0, divergiert aber.

edit: menno, zu langsam

 

[Amabilis]

b) wäre genau das selbe nur mit ner stärkeren Vorraussetzung. Nämlich:
(a(n)) ist beschränkt und hat einen Häufungspunkt => (a(n)) konv.

Meinst du genau einen häufungspunkt?

Falls nicht, ist die aussage zum einen redundant, weil jede beschränkte folge einen häufungspunkt hat, zum anderen falsch.

Im ersten fall ist die aussage äquivalent dazu, dass die folge konvergiert.

 

[Brusko651]

man nehme als Beispiel nur die Folge
a_n = (n^2 + 1 + (-1)^n *(1 - n^2))/2n

 

[Toadesstern]

ok an sowas hab ich nicht gedacht thx thx.
Damit komme ich zumindest auf 2 Aussagen falsch und 4 richtig

Spoiler

a(n) hat 1 HP => beschränkt & konv? falsch
a(n) hat 1 HP, beschränkt => konv? richtig
a(n) konv. => a(n) hat 1HP, beschränkt? richtig
a(n) beschränkt => a(n) konv. & 1HP? falsch
a(n) konv & 1HP => a(n) beschränkt? richtig
a(n) konv & beschränkt => 1HP? richtig

oh und die letzten 2 posts nicht gesehen. Jo jedes mal wenn da 1HP steht meine ich genau 1HP

 

[Brusko651]

Merkwürdige Aufgaben

Viele von den Angaben scheinen total redundant.
zB wenn eine Folge konvergiert, dann muss sie ja automatisch beschränkt sein, und kann nur eine homepage (HP hihi) besitzen
wozu also aufgaben wie
a(n) konv & 1HP => a(n) beschränkt? richtig
a(n) konv & beschränkt => 1HP? richtig
,
vor allem nachdem vorher schon die aufgabe
a(n) konv. => a(n) hat 1HP, beschränkt?
war.

 

[Toadesstern]

um Menschen wie mich zu verwirren, die dachten, dass a) auch richtig sei indem man einfach so viele Aufgaben wie möglich da rein kloppt.

 

[Spanzdolf]

Ok Toad, die Aussagen in deinem Spoiler dürften alle stimmen.

Und ich find das ehrlich gesagt gar nicht mal so dumm, so viele redundante Voraussetzungen einzubauen. Bei unseren Übungsblättern konnte man nämlich manche Aufgaben lösen, ohne irgend ne Ahnung von Mathe zu haben, weil immer klar war, dass nur die Aussagen stimmen, die die meisten Voraussetzungen haben.^^

Obige Aufgaben dagegen zeigen, ob man's wirklich verstanden hat.