Brownsche Bewegung

[ipskab]

Servus,

da bin ich wieder .

Da mein Rechenmodell (Partikelbewegungen im Strömungsfeld) soweit funktioniert, bin ich momentan dabei es mit allem möglichem zu erweitern. Ich will jetzt die Brownsche Molekularbewegung noch einbauen. Dazu habe ich natürlich ein bisschen gelesen und fand dann schließlich eine Formel.

x(gemittelt)= sqrt(delta_t*R*T/3pi*Na*eta(Fluid)*r(Partikel))

x gibt die (zufällige) Bewegung in eine Raumrichtung an (hier mal nur 1-D Betrachtung).
So weit so gut, nur jetzt wirds halt komisch. Ich habe die Herleitungen nachgelesen und dort finde ich immer wieder, dass die gemittelte Partikelverschiebung x nur von ein paar Konstanten und eben der Temperatur, der Viskosität des Fluids und dem Partikelradius abhängt. Dann lese ich aber auch, dass sich schwere Partikel aufgrund dieser Bewegung kaum von der Stelle rühren (weil träge) - auch völlig klar, aber WO ist das in der Gleichung sichtbar?
Der Gleichung ist es völlig egal, welche Masse mein Partikel hat, aber es muss ein Trägheitseinfluss da sein.

Muss ich die Ortsänderungen noch irgendwie in meine Bewegungsgleichung einarbeiten? Dort habe ich einen Trägheitseinfluss drin (ist in meinem anderen Thread zu sehen).

Ich hatte auch noch die Idee mit der kinetischen Gastheorie zu spielen:
E(kin_Fluid) = 3/2*k*T
p=m(Partikel)*v(Partikel) = m(Partikel)*delta_x(Partikel aus Brownscher Bewegung)/delta_t
Impuls <-> Energie
E=p^2/2m(Partikel)

das alles fröhlich ineinander eingesetzt ergibt:
delta_x(Partikel) = delta_t*sqrt(3*k*T/m(Partikel)) = sqrt(delta_t*R*T/3*pi*Na*r(Partikel)*eta(Fluid))

jetzt habe ich halt den Salat! Schaue ich mir den ersten Term auf der rechten Seite an, so steht die Partikelmasse im Nenner, d.h. wenn mein Partikel schwer (=träge) ist, dann bewegt es sich kaum - plausibel.
Betrachte ich den zweiten Term auf der rechten Seite, so ist die Viskosität des Fluids auch im Nenner. Ist mein Fluid sehr zähflüssig, dann wird mein Partikel auch gebremst und kann sich nicht gut bewegen - plausibel.

Aber ich krieg sowohl die Viskosität UND die Partikelmasse NICHT unter einen Hut...
Ich könnte einfach sagen: delta_x(Partikel)= Summe der beiden Terme, aber "darf" ich sowas einfach?

Ich hoffe ich konnte mein Problem ausreichend schildern.
Danke




Ein paar Quellen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion
und vom Einstein höchstpersönlich
http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

m = m(r), hilft das? (für die erste Teilfrage^^)

 

[mfb]

Bei gleicher Größe spielt die Masse keine Rolle. Ein ruhendes schweres Teilchen wird von einer einzelnen Kollision zwar nicht so schnell, aber es wird eben auch nicht so schnell abgebremst.

Muss ich die Ortsänderungen noch irgendwie in meine Bewegungsgleichung einarbeiten?

Naja, im Mittel ist sie null, und wenn du nichtlineare Effekte vernachlässigst bleibt das auch für die gesamte Bewegung so. Wie willst du das einarbeiten? Mit Zufallszahlen, sodass jede Trajektorie etwas anders aussieht?

Ich hatte auch noch die Idee mit der kinetischen Gastheorie zu spielen:

Was ist das? Der Effekt einzelner Stöße? Du hast viele, die sich gegenseitig weitgehend rausmitteln. Daher auch die Wurzel aus der Zeit, bei der ich nicht verstehen wie du die plötzlich herzauberst.

 

[ipskab]

Naja, im Mittel ist sie null, und wenn du nichtlineare Effekte vernachlässigst bleibt das auch für die gesamte Bewegung so. Wie willst du das einarbeiten? Mit Zufallszahlen, sodass jede Trajektorie etwas anders aussieht?

Ja, ich baue da Zufallszahlen ein (darf ich, sofern es unabhängige Zufallszahlen sind).

Dein Argument zu den schweren Partikel mit dem Beschleunigen und Abbremsen finde ich interessant, aber gibts da wirklich nichts, womit das berücksichtigt werden kann? Wenn ich ein verdammt schweres Fluid habe (restlichen Bedingungen bleiben gleich), dann kicken die mir auch mein schweres Teilchen weg (leichte dann sowieso).

Auch Ruß- und Staubkörner, ja sogar kleine Metallsplitter bewegten sich. Zudem stellte er fest, dass sich die Teilchen umso heftiger bewegten, je kleiner und damit leichter sie waren. Das heißt, die Geschwindigkeit der Teilchen ist umso größer, je weniger Masse sie haben.
http://schulen.eduhi.at/riedgym/physik/10/waerme/temperatur/brownsche_bewegung.htm

Der redet jetzt wieder von einer Geschwindigkeit, dabei habe ich nur eine Ortsbetrachtung..


Zu deinem letzten Absatz:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm

Hier siehst du, wo mein delta_t unter der Wurzel herkommt, ich habe die letzte Gleichung noch radiziert. Ein paar Gleichungen vorher gibt es noch einen Exponentialterm, der die Partikelmasse enthält, aber die schreiben immer, dass der recht schnell gegen Null geht mit voranschreitenter Zeit. Desweiteren weiß ich nicht, in welchem Größenbereich die Integrtionskonstate C liegt. (der Exponent ist übrigens t/tau - welches du aus meinem anderen thread kennst)

 

[mfb]

Dein Argument zu den schweren Partikel mit dem Beschleunigen und Abbremsen finde ich interessant, aber gibts da wirklich nichts, womit das berücksichtigt werden kann? Wenn ich ein verdammt schweres Fluid habe (restlichen Bedingungen bleiben gleich), dann kicken die mir auch mein schweres Teilchen weg (leichte dann sowieso).

Wie gesagt, auf die Masse ansich kommt es nicht an, solange das Teilchen groß gegenüber den Teilchen des Fluids ist funktioniert die Formel.

Der redet jetzt wieder von einer Geschwindigkeit, dabei habe ich nur eine Ortsbetrachtung..

Größeres delta_x in gleicher Zeit hat durchaus etwas mit größeren Geschwindigkeiten zu tun. Allerdings ist Geschwindigkeit keine gute Größe - sie hängt von der Zeitskala ab.

Zu deinem letzten Absatz:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm

Hier siehst du, wo mein delta_t unter der Wurzel herkommt, ich habe die letzte Gleichung noch radiziert. Ein paar Gleichungen vorher gibt es noch einen Exponentialterm, der die Partikelmasse enthält, aber die schreiben immer, dass der recht schnell gegen Null geht mit voranschreitenter Zeit. Desweiteren weiß ich nicht, in welchem Größenbereich die Integrtionskonstate C liegt. (der Exponent ist übrigens t/tau - welches du aus meinem anderen thread kennst)

Ich weiß, woher die Wurzel in der richtigen Herleitung stammt, ich verstehe nur die Umformung nicht die du im Startpost machst:

delta_t*sqrt(3*k*T/m(Partikel)) = sqrt(delta_t*R*T/3*pi*Na*r(Partikel)*eta(Fluid))

Vereinfacht steht dort

delta_t*sqrt(3/m(Partikel)) = sqrt(delta_t/(3*pi*r(Partikel)*eta(Fluid)))

Die linke Seite hängt nicht vom Fluid ab, die rechte plötzlich schon, die Zeit wird irgendwie "verwandelt", ... das passt alles nicht.

Ach ja, eigentlich müsstest du "x (gemittelt)" durch sqrt(<x^2>) ersetzen. Was nicht die Mittelung über irgendein x ist, sondern die Wurzel aus der Mittelung über x^2.

 

[ipskab]

Die linke Seite hängt nicht vom Fluid ab, die rechte plötzlich schon, die Zeit wird irgendwie "verwandelt", ... das passt alles nicht.

ja das kommt von der kinetischen Gastheorie

E=3/2kT = p^2/2m mit p = m*v = m*delta_x/delta_t

(m*delta_x/delta_t)^2/2*m = 3/2kT und daraus

delta_x = delta_t * sqrt(3kT/m)

die rechte Seite ist die "normale" Formel zur Brownschen Bewegung, nur eben radiziert und nach delta_x aufgelöst (http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm letzte Formel auf der Seite)

ob meine mathematischen Umformungen korrekt bzw erlaubt sind, kann ich nicht sagen, so gut kenne ich mich da nicht aus.

Nochmal zurück auf Anfang:

ich generiere mir mit Zufallszahlen die 6 Raumrichtungen und will mir dann verschiedene Bahnkurven plotten lassen. Ändere ich die Temperatur, bewegen sich die Teilchen mehr - passt. Erhöhe ich die Viskosität des Fluids, gehts langsamer - passt. Verkleinere ich den Radius, gehts auch mehr rund - passt. Ändere ich nun die Masse bzw. Dichte meines Teilchens (und der Radius ändert sich nicht), dann hat das keinen Einfluss darauf, was ich halt nicht verstehe.
Ich könnte damit leben, dass IMMER Teilchen gleichen Materials betrachtet werden (also Dichte = konst) und dann wären Radiusänderungen auch Masseänderungen und alles wäre (für mich zumindest) inhaltlich stimmig

 

[mfb]

E=3/2kT

Da fängt das Problem schon an. Das ist die mittlere Energie, nicht die Energie jedes Teilchens zu jeder Zeit.
<E>=3/2kT.
Entsprechend <p^2>/(2m) = 3/2 kT und m<v^2>=3kT
Nur: Was fängst du mit <v^2> nun an? Die Geschwindigkeit und ihre Richtung ändern sich ständig.
Du kannst natürlich die Brownsche Bewegung daraus herleiten, aber das erfordert etwas mehr Aufwand. Dann brauchst du noch die mittlere freie Weglänge und sowas.
Das ist aber gar nicht nötig, du hast die fertige Formel und kannst sie verwenden.

 

[ipskab]

danke mfb,

ich denke mich da weiter reinzusteigern bringt nichts. Ich sage, dass pauschal gilt, dass kleine Partikel auch eine geringe Masse besitzen und damit kann ich dann schon argumentieren. Ich addiere auf meine Partikelkurven in jedem Iterationsschritt das delta_x_Brownsche_Bewegung mit einer zufälligen Richtung drauf.
Ich kriege dann schon schöne Zitterkurven entlang meiner Stromlinien. In der Theorie liest man auch, dass diffusive Effekt ab einer Partikelgröße von größer 0,1µm eh zu vernachlässigen sind. Das kann ich auch qualitativ abbilden .

Also kurz um: kleine Partikel <-> geringe Masse und Partikelteilchen >> Fluidmoleküle; damit sollte dann alles passen.

Vielen Dank!