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Basics der Partiellen Integration
- Ersteller Toranos
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Nunja, angewendet wird sie im Grunde dort, wo man ein Produkt integrieren muss.
Ein einfaches Beispiel wäre also "Finde eine Stammfunktion von x*sin(x)."
Vorangehensweise ist folgende:
Man zerlegt das Produkt in seine zwei Faktoren (hier x und sin(x)) und identifiziert eines davon als Ableitung eines anderen Terms. Dies sollte man immer auf den "komplizierteren" Term anwenden, warum zeigt sich gleich.
Wir identifizieren sin(x) also als eine Ableitung. Eine Stammfunktion lautet -cos(x).
Die Regel zur Partiellen Integration sagt folgendes:
Integral[ u' * v ] = u * v - Integral[ u * v' ] (*)
Striche stehen hierbei für die erste Ableitung.
Für unser Beispiel folgt nun
Integral[ x * sin(x) ] = Integral[ sin(x) * x ] = -cos(x) * x - Integral [ -cos(x) * 1 ]
(denn v' = (x)' = 1)
= -cos(x) * x + sin(x) + C
Und somit hat man eine Stammfunktion für das Produkt x*sin(x) gefunden.
Falls man bestimmte Integrale berechnen möchte, setzt man wie gewohnt die obere und utnere Grenze ein, auch bei dem Term u * v in Zeile (*).
Ein einfaches Beispiel wäre also "Finde eine Stammfunktion von x*sin(x)."
Vorangehensweise ist folgende:
Man zerlegt das Produkt in seine zwei Faktoren (hier x und sin(x)) und identifiziert eines davon als Ableitung eines anderen Terms. Dies sollte man immer auf den "komplizierteren" Term anwenden, warum zeigt sich gleich.
Wir identifizieren sin(x) also als eine Ableitung. Eine Stammfunktion lautet -cos(x).
Die Regel zur Partiellen Integration sagt folgendes:
Integral[ u' * v ] = u * v - Integral[ u * v' ] (*)
Striche stehen hierbei für die erste Ableitung.
Für unser Beispiel folgt nun
Integral[ x * sin(x) ] = Integral[ sin(x) * x ] = -cos(x) * x - Integral [ -cos(x) * 1 ]
(denn v' = (x)' = 1)
= -cos(x) * x + sin(x) + C
Und somit hat man eine Stammfunktion für das Produkt x*sin(x) gefunden.
Falls man bestimmte Integrale berechnen möchte, setzt man wie gewohnt die obere und utnere Grenze ein, auch bei dem Term u * v in Zeile (*).
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Jo, C ist die übliche Variable für eine beliebige Integrationskonstante.
Wenn ich z.B. zu x^2 + 3x eine Stammfunktion suche, gibt es unendlich viele, nämlich 1/3x^3 + 3/2x^2 + C, wobei ich für C jede reelle Zahl einsetzen kann. Beim Ableiten fliegt sie dann ja eh wieder weg.
Bei bestimmten Integralen (also denen mit oberer und unterer Grenze) kann man sich das C sparen, da es bei beiden Grenzen hinzugezählt wird und somit insgesamt keinen Beitrag liefert.
Wenn ich z.B. zu x^2 + 3x eine Stammfunktion suche, gibt es unendlich viele, nämlich 1/3x^3 + 3/2x^2 + C, wobei ich für C jede reelle Zahl einsetzen kann. Beim Ableiten fliegt sie dann ja eh wieder weg.
Bei bestimmten Integralen (also denen mit oberer und unterer Grenze) kann man sich das C sparen, da es bei beiden Grenzen hinzugezählt wird und somit insgesamt keinen Beitrag liefert.