Ausklammern/Multiplikation von Summen

[gruddy]

Brauche mal bitte eure Hilfe, folgende 2 Aufgaben kann ich einfach nicht lösen:
a) (2x+y)(-3m+n)-(2x-y)(m-3n)
hier komm ich bis -8mx+8nx-2my-2ny, aber dann, keine Ahnung. Ich sehe da is (m+-n)(x+-y) drin.
b) -(ab-b)²-[-(ab-b)(b+ab)+2[(-a)(-b)]²]
hier weiß ich nichtmal wie ich anfangen soll... ich sehe da ist ab und b drinnen. Das werde ich wohl irgendwie ausklammern müssen. Nur habe ich keinen Plan wie.

 

[RambosDad]

a)
rechnest du mal zuerst (2x+y)(-3m+n) aus und dann - [(2x-y)(m-3n)]

bei b verrechne ich mich selber irgendwo :/

 

[mfb]

Man kann bei (a) noch die Terme mit x sowie die Terme mit y getrennt voneinander zusammenfassen (wahlweise auch m und n, aber das sieht nicht so schön aus), aber ein kurzes schönes Produkt wird daraus nicht werden denke ich.

hier weiß ich nichtmal wie ich anfangen soll...

Alles ausmultiplizieren. Dann vereinfachen, und dann sollte sich das Ausklammern daraus ergeben.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Du musst eigentlich nur schrittweise die Grundregel a*(b+c) = a*b + a*c anwenden.
Beim ersten Beispiel also wie folgt
Wir haben (2x+y)(-3m+n)-(2x-y)(m-3n), beispielhaft den ersten summanden vorgerechnet:

2x+y nenne ich absofort a, -3m ist b und n c.
Dann ergibt sich: a*b+a*c = (2x+y)*(-3m) + (2x+y)*(n)
Darauf nochmal die Grundregel anwenden und du bist mit dem summanden fertig, analog für den zweiten Summanden.
Geht rein mechanisch.

 

[Fettsack666]

b) -(ab-b)²-[-(ab-b)(b+ab)+2[(-a)(-b)]²]

| Erste Klammer wird aufgelöst nach 2. Binomischer Formel, (a + b)² = a² - 2ab + b²

=> -(a²b² - 2ab² + b²) -[-(a²b² + ab² - ab² -b²) + 2(-a)²(-b)²]

| (-a)² = (-1)²*a² = a² , äquivalent dazu (-b)² = b², ab² - ab² = 0

=> -(a²b²) + 2ab² - b² -(-(a²b²) + b² + 2a²b²)

| Vorzeichen vor der Klammer wird reingezogen, das ist ja effektiv (-1) * die Klammer

=> -(a²b²) + 2ab² - b² + (a²b²) - b² - 2(a²b²)

| -(a²b²) + (a²b²) = 0

=> 2ab² - 2b² - 2(a²b²)

| 2b² wird ausgeklammert

=> 2b²(a - 1 + a²) => 2b²(a² + a - 1)

Ab hier sollte keine weitere Vereinfachung möglich sein. Ist kein Binom, man kann nichts mehr ausklammern, und Magie passiert auch keine^^

 

[gruddy]

Ich danke euch! Vorallem Fettsack, das hilft sehr!
Die größte Schwierigkeit hatte ich ja mit dem Teil "(-a)²(-b)²".
Wieso darf man da -1 einsetzen anstelle von a? Verfälscht das nicht das Ergebnis?

Habe noch eine Frage:

Darf ich da den mittleren Bruch einfach mit *(-1) erweitern und die anderen belassen? Dann hätte ich ja drei gleiche Nenner (HN)..
Dann würde er Zähler ja -8x-3y werden. Nun ist davor aber noch ein negatives Vorzeichen, wird der Zähler dann +8x-3y oder ändert sich dann auch das Vorzeichen von -3 zu +3, also wirkt der Bruch dann wie eine Klammer?

 

[Fettsack666]

bei (-a)² sorgt die quadrierung dafür, dass das vorzeichen in jedem fall positiv wird. Egal, was du für "a" einsetzt, das Ergebnis wird positiv werden.

Und ja, imho darfst du den mittleren Bruch mit (-1) erweitern, das sollte das Ergebnis ja nicht ändern. Der Zähler wird dann zu "-8x-3y", der ganze Term wird mit (-1) multipliziert. Im Nenner steht dann "-y+x", was ja nach Kommutativgesetz (im weitesten Sinne) zu "x-y" würde. Gleicher Nenner, ergo kannst du "1/(x-y)" ausklammern. Sollte dann so aussehen:

1/(x-y)*( 7x - 5y - (-8x -3y) - (8x - 9y))

| Vorzeichen reinziehen

=> 1/(x-y)*(7x - 5y + 8x +3y - 8x + 9y)

=> 1/(x-y)*(7x + 7y)

=> 7(x+y)/(x-y)

€: Du kannst das natürlich auch einfach alles überm Bruchstrich zusammenfassen, aber der Weg sieht handschriftlich wirklich angenehmer aus.

 

[mfb]

(-a)^2 = ((-1)*a)^2 = (-1)*a*(-1)*a = 1*a*a = a^2
Kann man auch ganz elementar machen, braucht man nur die Rechenregeln für Multiplikation (a*b=b*a, a*(b*c)=(a*b)*c)).

Brüche mit irgendwas ungleich Null erweitern ist immer möglich.

 

[gruddy]

Habe da eine neue Frage und zwar geht es um folgende lineare Funktion:
f(x)=(1/a)x+a+2; Punkte P(-a; a+1), Q(a; a+3)
Und die Frage dazu: für welches a ist die Gerade keine Funktion?
Ich habe keinen schimmer....

 

[sesslor]

Für a gleich null ist das halt undefiniert, sonst ist es natürlich für jedes a eine Funktion.

 

[gruddy]

Kommt denn dann nicht y = 2 raus wenn a = 0?

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

1/a ist nicht definiert. Daher gehört a = 0 nicht zum Definitionsbereich (wenn man den Parameter a als unabhängige Variable auffasst)

 

[Fettsack666]

Oder anders ausgedrückt: 1/a ergibt, wenn wir für a "0" einsetzen, 1/0. Dinge, die wir in der Mathematik nicht machen: Durch 0 dividieren. Es ist nämlich nicht definiert. Demzufolge kommt für jedes "a", das ungleich "0" ist, eine Funktion bei rum. Es sei denn, es ist irgendwie möglich, einem x-Wert 2 y-Werte zuzuordnen. Da das eine lineare Funktion ist, sehe ich das aber nicht kommen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Funktionen ordnen immer nur einen Wert einem anderen zu. So sind sie definiert.

 

[Fettsack666]

Die richtige Umkehrfunktion von f(x)=x² ordnet jedem x-Wert 2 y-Werte zu. Was ja bekanntermaßen dazu geführt hat, dass die Wurzel als durchgängig positiv definiert wurde. Es ist definitiv möglich, eine "Funktion" aufzustellen, die per Definition keine Funktion ist.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

f(x) = x² hat auf (Definitionsbereich) ganz R keine Umkehrfunktion.

 

[Fettsack666]

Was ja wohl eine Erkenntnis ist, die daraus resultiert, dass man die Umkehrfunktion überhaupt erst mal gebildet hat, um dann zu sehen, es geht nicht >.<
Dass x² NUR im positiven oder NUR im negativen Definitionsbereich eine Umkehrfunktion besitzt, ist mir vollkommen klar. Nichtsdestotrotz gibt es genügend Leute, die den Fehler machen, die Umkehrfunktion über den kompletten Definitionsbereich mittels Konstruktionsverfahren zu generieren, und dann der Meinung sind "Zack, das ist eine Funktion!". Dass jemand, der halbwegs mit der Materie bekannt ist, das Gegenteil sofort sieht, stand m.E. nie zur Debatte. Es ging mir nur darum, dass es möglich ist, Funktionen über Umformungen zu generieren, die im Sinne der Definition keine sind, wenn man handwerkliche Fehler macht.

Btw haut dein Argument "Funktionen sind so definiert, ergo kann es nicht passieren" eigtl auch so richtig nicht hin. Richtiger wäre wohl "Das und das ist passiert, darum ist es eigtl keine Funktion. Unter welchen Bedingungen kann ich daraus eine Funktion machen?". So zu sehen bei f(x)=x². Die Umkehrfunktion über den kompletten D-Bereich ist keine Funktion? Gut, dann ist die Umkehrfunktion von x² nur über den positiven Definitionsbereich von x² existent.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

"Die Umkehrfunktion über den kompletten D-Bereich ist keine Funktion"
Der Satz ist mathematisch unsinnig.
Die Umkehrfunktion existiert über ganz D gar nicht. Daher kannst du auch keine Aussage über ganz D treffen.

"Was ja wohl eine Erkenntnis ist, die daraus resultiert, dass man die Umkehrfunktion überhaupt erst mal gebildet hat, um dann zu sehen, es geht nicht >.<"

Nein. Das folgt aus der Beobachtung f(x) = f(-x). Daher ist f nicht bijektiv und besitzt daher über ganz D keine Umkehrfunktion.

 

[SvenGlueckspilz]

Das ist wirklich unsinnig.
Genauso unsinnig ist eigentlich die Aussage "die Funktion ist wohldefiniert", was Mathematiker trotzdem so sagen. Aber das ist eigentlich nur Slang, denn jede Funktion ist wohldefiniert. Man kann nicht sagen eine Funktion ist nicht wohldefiniert, denn wenn sie nicht wohldefiniert ist, dann ist sie gar keine Funktion und man hätte sie nicht erst Funktion nennen dürfen.
Macht man aber trotzdem. Im Falle der Umkehrfunktion habe ich das aber noch keinen Mathematiker sagen hören und Fettsacks
"Die richtige Umkehrfunktion von f(x)=x² ordnet jedem x-Wert 2 y-Werte zu"
würde ich so niemals sagen.
Die Umkehrfunktion existiert hier einfach nicht. Dieser Satz beschreibt doch auch treffend, was los ist und man muss das Problem jetzt nicht noch mit falschen Worten beschreiben.

 

[mfb]

Es gibt eine wohldefinierte Funktion, die gelegentlich als Umkehrfunktion bezeichnet wird und quasi die Umkehrung von f(x)=x^2 ist. Im Reellen bildet sie allerdings die reellen Zahlen auf die Potenzmenge der reellen Zahlen ab:

wtf wieso haben wir hier noch kein TeX Support. P(.) ist die Potenzmenge von ., R sind die reellen Zahlen.
f[sup]-1[/sup]: R->P(R),
f[sup]-1[/sup](x)={-sqrt(x),+sqrt(x)} für x>=0
f[sup]-1[/sup](x)={} für x<0

 

[Fettsack666]

Die Umkehrfunktion existiert hier einfach nicht. Dieser Satz beschreibt doch auch treffend, was los ist und man muss das Problem jetzt nicht noch mit falschen Worten beschreiben.

Alter...DAS WEISS ICH! Darum ging es mir doch überhaupt nicht. Es ging mir nicht darum, ob Leute, die ordentliches mathematisches Verständnis haben, eine Umkehrfunktion über den kompletten Definitionsbereich von x² konstruieren. Es gibt sie nicht, danke, schön, dass wir das jetzt zum 27. Mal geklärt haben.

Es ging mir schlicht darum, dass Leute, die eben wenig bis kein handwerkliches Geschick mit der Mathematik haben, durchaus dazu neigen, eine Umkehrfunktion zu x² zu konstruieren, die dann einer an der x-Achse gespiegelten Wurzelfunktion gleicht und sagen "Ja, das ist die Umkehrfunktion, das ist eine Funktion, ist doch klar." Es ging mir einzig und allein darum, dass es genug Menschen gibt, die Funktionen konstruieren, die keine sind, weil sie den Blick und das Verständnis nicht haben. Und das habe ich eben NUR ausgeführt, weil gesagt wurde "Sowas passiert nicht, weil das ja pro forma keine Funktion ist."

Das ist dem durchschnittlichen Mathe-Schüler aber bspw. vollkommen egal, der konstruiert dir die wildesten Funktionen, ohne zu sehen, dass er die Definition einer Funktion, die er aus der 9. Klasse kennt, schon wieder vollkommen ignoriert hat. Dass wir uns nicht darüber unterhalten, wider der geneigte LK-Schüler/Mathe-Student/whatever das handhabt, ich dachte, soweit waren wir.

 

[sesslor]

Du hast es halt am Anfang falsch ausgedrückt. Was du meintest war wohl: "Es ist möglich in der x-y-Ebene eine Linie zu zeichnen, die nicht durch eine einzelne Funktion x->f(x) beschrieben werden kann."

In der Mathematik ist exakte Kommunikation einfach wichtig.

 

[SvenGlueckspilz]

Alter...DAS WEISS ICH! Darum ging es mir doch überhaupt nicht. Es ging mir nicht darum, ob Leute, die ordentliches mathematisches Verständnis haben, eine Umkehrfunktion über den kompletten Definitionsbereich von x² konstruieren. Es gibt sie nicht, danke, schön, dass wir das jetzt zum 27. Mal geklärt haben.

Es ging mir schlicht darum, dass Leute, die eben wenig bis kein handwerkliches Geschick mit der Mathematik haben, durchaus dazu neigen, eine Umkehrfunktion zu x² zu konstruieren, die dann einer an der x-Achse gespiegelten Wurzelfunktion gleicht und sagen "Ja, das ist die Umkehrfunktion, das ist eine Funktion, ist doch klar." Es ging mir einzig und allein darum, dass es genug Menschen gibt, die Funktionen konstruieren, die keine sind, weil sie den Blick und das Verständnis nicht haben. Und das habe ich eben NUR ausgeführt, weil gesagt wurde "Sowas passiert nicht, weil das ja pro forma keine Funktion ist."

Das ist dem durchschnittlichen Mathe-Schüler aber bspw. vollkommen egal, der konstruiert dir die wildesten Funktionen, ohne zu sehen, dass er die Definition einer Funktion, die er aus der 9. Klasse kennt, schon wieder vollkommen ignoriert hat. Dass wir uns nicht darüber unterhalten, wider der geneigte LK-Schüler/Mathe-Student/whatever das handhabt, ich dachte, soweit waren wir.

Wenn du meinen ganzen Beitrag gelesen hast, solltest du eigentlich erkannt haben, dass es darin nicht darum ging, zu klären, dass es keine Umkehrfunktion gibt, sondern nur um die richtige Wortwahl.

Ich kann mich btw nicht dran erinnern, dass der Begriff der Umkehrfunktion bei mir überhaupt in der Schule drangewesen ist.

 

[gruddy]

Ich danke euch für eure Hilfe hier! Ich bräuchte mal einen Tipp ob ich hier was falsch mache:
Aufgabe: ux²+3x=0
Gesucht x in Abhängigkeit von u.
=> ux²+3x=0 |-3x
ux² = -3x |:u
x² = -3x/u |Wurzel()
x = +- Wurzel(-3x/u)

Wobei u nicht 0 sein darf.
Stimmt das so?

 

[gruddy]

doppelpost, bitte löschen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Ich danke euch für eure Hilfe hier! Ich bräuchte mal einen Tipp ob ich hier was falsch mache:
Aufgabe: ux²+3x=0
Gesucht x in Abhängigkeit von u.
=> ux²+3x=0 |-3x
ux² = -3x |:u
x² = -3x/u |Wurzel()
x = +- Wurzel(-3x/u)

Wobei u nicht 0 sein darf.
Stimmt das so?

Bisschen unbefriedigend, dass x= f(x,u), denkst du nicht? Was du suchst ist doch eigentlich die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung in Abhängigkeit von u.
Was passiert desweiteren in der Ausgangsgleichung für u = 0?

 

[gruddy]

Okay, wenn u = 0 dann ist x auch 0.
Man könnte ja schreiben x(ux+3) = 0
Nun, zumindest x1 wäre hier 0.
Das Problem ist dann was mache ich mit dem ux in der Klammer?
ux müsste ja sozusagen -3 ergeben, also ux+3=0 => ux = -3 |:u
x2 = -3/u?

 

[Kquarso]

Sieht gut aus, wobei u nicht 0 sein darf

 

[gruddy]

Die Paramtergleichungen sind furchtbar.
Das nächste Ding das ich nicht gebacken bekomme:
x² - 3kx - 18
D = (-3k)² - 4(1)(-18) = 9k²+72
Nun will ich 1 Lösung für D = 0, also 9k²+72 = 0
Ich habe nun die Wahl ob ich umforme:
9k² = -72 |:9
k² = -8 | Wurzel ist hier nicht möglich also wieder +8?
k² + 8 = 0
Oder ich ziehe die Wurzel
9k²+72 = 0 | Wurzel
3k + Wurzel (72) = 0.
Edit: okay, dass ist eine bescheurte Idee wenn ich eine Summe radiziere...

Beides bescheuert wenn ich weitermachen will:
=> k = k² + 8 einsetzen in abc Formel
x1,2= 3(k²-8)/2


Also gehe ich mal davon aus das es gar keine Lösung gibt?
Somit L = {}?

Wenn ich sage k²+72 > 0 (für 2 Lösungen) würden ja alle reellen Zahlen für k in Frage kommen...
Und wenn ich umforme um zu radizieren geht wieder nix. Also doch leere Menge?

Sieht gut aus, wobei u nicht 0 sein darf

Okay, also noch Fall 1 mit u = 0 => Leere Menge da nicht definiert und Fall 2 mit u nicht gleich 0 und Lösungsmenge x1= 0 und x2 = -3/u. Das dürfte so korrekt sein, oder?

 

[SvenGlueckspilz]

Was ist denn D? Ist das so definiert, wie du das da hingeschrieben hast? Und ist das eine Nebenbedingung, dass D=0 sein soll?

 

[gruddy]

D soll die Diskriminante sein. Und ich soll herausfinden wann D = 0, D > 0 und D < 0 damit ich die Nullstellen der Parabel herausfinde (also 1, 2 oder keine)

 

[gruddy]

Ich glaube hier ist es sinnvoller wenn ich quadratisch Ergänze anstelle der abc Formel:
x²-3kx-18=0 |+(3k/2)²
[(x-(3k/2)]²-18=9k²/4 |+18 bzw. 72/4
[(x-(3k/2)]²=(9k²+72)/4 | Wurzel
x-(3k/2) = [Wurzel(9k²-72)]/2
x1 = 1/2*[3k+Wurzel(9k²-72)]
x2 = 1/2*[3k-Wurzel(9k²-72)]

Bedeutet bei D>0
x1 > 1/2*[3k+Wurzel(9k²-72)]
x2 < 1/2*[3k-Wurzel(9k²-72)]
L = ]- unendlich; 1/2*{3k-Wurzel(9k²-72)}[ u ]1/2*{3k+Wurzel(9k²-72)}; unendlich[

und D < 0
x1 < 1/2*[3k+Wurzel(9k²-72)]
x2 > 1/2*[3k-Wurzel(9k²-72)]
also L = ] 1/2*{3k-Wurzel(9k²-72)};1/2*{3k+Wurzel(9k²-72)}[

oder?

 

[SvenGlueckspilz]

Du arbeitest ein bisschen zwanghaft mit der Diskriminante, du siehst doch schon beim Lösungsverfahren mit der quadratischen Ergänzung, wieviele Lösungen es gibt. Wenn D >0, gibt es zwei, bei D=0 gibt es eine und bei D < 0 gibt es keine Lösung. Da hier mit D = 9k² + 72 immer D >0 gilt, gibt es also immer zwei Lösungen der quadratischen Gleichung. Aber das kannst du auch einfach während der Rechnung sehen, du brauchst hier D gar nicht zu betrachten.
Wenn du dann halt die Wurzel ziehen kannst (also wenn du nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen müsstest), dann ist alles gut und du bekommst ein oder zwei Lösungen, je nachdem ob die Wurzel = 0 ist oder nicht.
Deine Lösung enthält einen Fehler, du hast nach dem Wurzel ziehen ein Minus vor die 72 gepackt, da muss weiterhin ein Plus stehen. Jetzt weiß ich wie gesagt nicht, warum du D < 0 und D >0 bei der Lösungsmenge unterscheidest, D < 0 kann hier gar nicht auftreten und D = 0 auch nicht.
Deine Lösungsmenge verstehe ich nicht. Warum schreibst du dort Intervalle von +- unendlich bis zu den Nullstellen hin?
Die Aufgabe war doch, die Lösungen von x²+3kx -18 = 0 zu bestimmen oder?
Da kommen dann hier genau zwei Werte x1 und x2 raus, aber keine Intervalle.
Die Lösungsmenge lautet, wenn das die Aufgabenstellung ist,
L = { 1/2 * (3k - Wurzel(k² + 72)), 1/2 * (3k + Wurzel(k² + 72)) }
Ich weiß nicht, warum bei dir Ungleichung x1 < ... und x2 > ... und so stehen, wie ist denn genau die Aufgabenstellung?

 

[gruddy]

Die Aufgabe lautet: "bestimme bei folgenden Funktionen in Abhängigkeit des Parameters k die Anzahl der Nullstellen".
Und hier muss ich doch unterscheiden für welchen Parameter ich keine Nullstellen habe (D<0) für welche Parameter ich 1 Nullstelle (D=0) und für welche 2 Nullstellen (D>0)?
Mir ist klar das k²+72>0 immer größer 0 sein muss aufgrund des Quadrats.

Hier mal eine Aufgabe wie wir sie zusammen gelöst haben:
3x²+kx+3 = 0
D = k²-36

Fall 1: D = 0
k²-36 = 0
|k|=+-6

Für k = 6: x1,2 = 1; L = {1}
Für k = -6: x1,2 = -1 L = {-1}

Fall 2: D<0
k²-36 < 0
wenn k Element ]-6;6[ => L = {}

Fall 3: D>0
k²-36 > 0
wenn k Element ]-unendlich; -6[ vereinigt ]6; unendlich[
=> L = {[-k+-Wurzel(k²-36)]/6}

 

[SvenGlueckspilz]

Fall 1 und Fall 2 können bei dem Beispiel x² + 3kx - 18 = 0 nicht auftreten,
da gibt es nur Fall 3, D = 0 und D < 0 ist unmöglich. Die Anzahl der Nullstellen ist
in diesem Fall also immer 2. Und die Lösungsmenge ist kein Intervall, sondern wie ich gesagt habe. Die Intervalle bei der anderen Beispielaufgabe geben immer nur an, für welche k die jeweiligen Fälle auftreten.