ARMA(p,q) - Prozesse

[xornado]

Hallo Ihr Zeitreisenden der mittelalterlichen Prozesse.

Jetzt darf ich doch wirklich ARMA(p,q) prozesse aus der Mottenkiste auspacken, bzw. lernen.


Ich habe hier zwei Prozesse, bei einem davon schaffe ich es nicht, auf das Ergebnis zu kommen.


1. C(t)=a_0 + a_1*Y(t) + a_2*C(t-1) + u(t)
2. Y(t)==C(t)+I(t)

Das erste ist, wie leicht zu erkennen eine Konsumfunktion, das zweite die Einkommensidentität.
Werte in Klammern geben den Zeitindex an, der Unterstrich deutet das Subskript an.
somit ist C(t) der Konsum in t, C(t-1) der Konsum der Vorperiode.
u(t) ist der Störterm in t

Die umgeformten Prozessgleichungen lauten:

C(t) = a_0/(1-a_1) + a_1/(1-a_1)*I(t) + u(t)/(1-a_1)

Y(t) - a_2/(1-a_1)*Y(t-1) = a_0/(1-a_1) + I(t)/(1-a_1) - a_2/(1-a_1)*I(t-1) + u(t)/(1-a_1)

Die erste Umformung erhielt ich auch, jedoch schaffe ich es partout nicht, die umformulierte Einkommensgleichung zu erhalten.

Denn erst aus diesen Gleichungen ist ja, unter der Annahme:

A: Das Investitionsvolumen stellt weisses Rauschen dar

ersichtlich, dass es sich bei C(t) wohl um einen AR(1) und bei Y(t) um einen ARMA(1,1) prozess handelt.


Thx für jedwede Hinleitung für Y(t)




KURZFASSUNG:
wie komme ich von der ersten Y(t)-Gleichung auf die zweite?


Mfg,
xornado

 

[mfb]

Bis auf einen einzigen Term komme ich auf die 2. Gleichung für Y(t):


Gleichung 1 und 2 ergeben schon Teile der 4. Gleichung:
Y(t) = C(t)+I(t) = I(t) + a_0/(1-a_1) + a_1/(1-a_1)*I(t) + u(t)/(1-a_1)

bleibt zu zeigen:
-a_2/(1-a_1)*Y(t-1) = I(t)/(1-a_1) - a_2/(1-a_1)*I(t-1) <-- Y(t-1) einsetzen
-a_2/(1-a_1)*(C(t-1)+I(t-1)) = I(t)/(1-a_1) - a_2/(1-a_1)*I(t-1)
-a_2/(1-a_1)*C(t-1) = I(t)/(1-a_1)
-a_2*C(t-1) = I(t)
die Ausgangsgleichung für C(t) eingesetzt (in der kommt a_2*C(t-1) vor):
a_0 + a_1*Y(t) + u(t) - C(t) = I(t) <-- Y(t) einsetzen
a_0 + a_1*(C(t)+I(t)) + u(t) - C(t) = I(t)
a_0 + u(t) - (1-a_1)*I(t) = (1-a_1)*C(t)
C(t) = a_0/(1-a_1) + (a_1-1)/(1-a_1)*I(t) + u(t)/(1-a_1)

das ist fast die Gleichung
C(t) = a_0/(1-a_1) + a_1/(1-a_1)*I(t) + u(t)/(1-a_1)
aber eben nur fast

Das lässt eigentlich 3 Möglichkeiten offen:
- Ich hab' irgendwo einen Fehler drin. Finde ihn, und die Herleitung funktioniert
- Du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben
- Die Aufgabe ist falsch gestellt

 

[xornado]

super, danke schön erstmal !

ich werd mir das gleich nochmal ausprobieren !


trotzdem erstmal nen dickes thx.!!elf