Bei unendlichen Mengen ist es halt erstmal nicht so klar, was es heißt, dass eine Menge mehr Elemente als eine andere hat. Man muss halt DEFINIEREN, was man damit meint. Bei endlichen Mengen kann man das im Prinzip ohne das Konzept der Zahlen machen. Wenn du eine Menge Äpfel hast und eine Mengen Birnen, dann kannst du solange jeweils einen Apfel neben eine Birne legen, bis entweder beide aufgebraucht sind (dann sind es gleich viele) oder nur noch partnerlose Birnen übrig sind (dann sind es mehr Birnen) oder nur noch partnerlose Äpfel da sind... Und dieses Konzept würde man durch die Kardinalität verallgemeinern, indem man sagt, zwei Mengen sind gleich mächtig, wenn sie bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Wenn eine Menge A injektiv in eine Menge B abgebildet werden kann, dann ist B mindestens so mächtig wie A oder alternativ, wenn eine Menge A surjektiv auf eine Menge B abgebildet werden kann,
dann ist A mindestens so mächtig wie B.
Wenn A injektiv in B abgebildet werden kann, aber nicht bijektiv auf B abgebildet werden kann, dann ist A mächtiger als B usw.
Das entspricht im Prinzip dem nebeneinanderlegen, aber mit einem Unterschied. Wenn ich auf eine Art und Weise nebeneinanderlege und es bleiben Element von B übrig, dann heißt das noch nicht, dass es mehr von B gibt, weil es könnte noch eine andere Art und Weise geben, nebeneinanderzulegen, wo das nicht passiert.
Beispiel: Wenn ich die natürlichen Zahlen einfach so in die ganzen Zahlen reinlege (also die Menge deer natürlichen Zahlen injektiv in die ganzen Zahlen abbilde durch n |--> n), dann bleiben ganze Zahlen übrig. Aber wenn ich die folgende Abbildung betrachte: n |-->-n/2, falls n gerade und
n |-->(n-1)/2, falls n ungerade, dann ist die Abbildung bijektiv, ich kann also neben jede ganze Zahl genau eine natürliche legen. Ob das jetzt heißt, dass es genauso viele ganze wie natürlich gibt, ist eher eine philosophische Frage.
Ja, es gibt mehr reelle Zahlen in [0,1] als alle natürliche Zahlen im Sinne der Kardinalität. Man kann die natürlichen Zahlen injektiv in [0,1] hinein abbilden, zum Beispiel durch 0 |--> 0 und n |--> 1/n für alle n ungleich 0. Aber man kann die natürlichen Zahlen nicht bijektiv auf [0,1] abbilden. Die Kardinalität von [0,1] ist ein größeres unendlich als die von den natürlichen.
Alle Mengen die die Kardinalität von N haben, sind abzählbar unendlich, [0,1] ist überabzählbar.
Auch im Sinne des Lebesguemaßes sind mehr in [0,1], das Maß der natürlichen Zahlen ist Null.
Ja ist schade, dass hier nicht mehr los ist. Manche Diskussionen sind zwar zum verzweifeln, aber dann auch wieder lustig ^^
