Analysis 3.tes Semester Frage

[TerraIncognita]

Hallo Leute!

Meine Freundin muss ne Übung bearbeiten, kommt aber bei zwei Aufgaben in Analysis nicht weiter.

Ich schreib das mal von dem Blatt hier ab:

1)Zeigen sie: Zwischen zwei reelen Zahlen a,b mit 0 <= a < b liegt stets eine Irrationalzahl c mit a<c<b.

2) Ist x Element aus I ein abstoßender Fixpunkt von f, so ist x ein anziehender Fixpunkt von f^-1.
(Über dem x ist so ein komisches Dach..)

Da ich in meinem Studium NULL mit Mathe zu tun habe, wende ich mich jetzt mal hier an euch Mathecracks da draußen.

Wäre nett,wenn mir einer da mal 'ne Lösung bzw. nen Ansatz präsentieren könnte.
Danke im Vorraus!

 

[MesH]

Von anziehenden und abstoßenden Fixpunkten hab ich noch nie was gehört, nich mal Wikipedia kennt das. Was zum Teufel is sowas?

 

[TerraIncognita]

Da fragste den Falschen!Meine Freundin iss arbeiten,fragen geht also nit...

Steht hier zumindest genau so in der Aufgabenstellung..

Ah Sekunde! Ich depp hab f vergessen!

Also :

f:I--> R sei umkehrbar auf dem Intervall I und differenzierbar auf I. Mit f^-1 : f(I) --> I bezeichnen wie ihre Umkehrung. Zeigen Sie:

Und dann kommt die Frage 2) von oben! Sorry!

 

[voelkerballtier]

zu 1. lässt sich nicht viel sagen, ohne zu wissen, wie die reellen zahlen in der vorlesung eingeführt wurden. Meiner Meinung nach liegen die irrationalen Zahlen per Konstruktion dicht in den reellen und damit ist die Aussage trivial.

Bei zweitens denke ich mal es sind stabile/instabile Fixpunkte gemeint, die ich jetzt (ohne große Recherche) mal so definieren würde: x heißt stab fixpunkt von f, wenn

womit das dann auch wieder trivial wird

 

[ROOT]

1. Schieb doch einfach ein entsprechend skaliertes Wurzel 2 ein.
2. Keine Ahnung, aber @Mesh: Banach'scher FP-Satz, Fixpunktiteration, da braucht man das.

 

[MesH]

Fixpunkte kenn ich schon, so isses ja net Google hat aber bisschen geholfen:

(http://www.ijon.de/mathe/julia/node6.html)
- anziehender Fixpunkt, falls |f'(z)|<1.
- abstoßender Fixpunkt, falls |f'(z)|>1.

(die Holomorphie-Bedingung ist eigentlich bisschen stark, aber auf die schnelle nix besseres gefunden) - damit sollte die Frage aber relativ easy sein, mit der Formel da für f^(-1)'.

 

[Asta Khan_inaktiv]

Das erste ist einfach, wenn man hat, dass zwischen zwei reellen immer eine rationale liegt. Dann nimmst du eine beliebige irrationale Zahl r und multiplizierst a und b damit (alternativ addierst du r zu a und b dazu, Jacke wie Hose). Den Rest findet deine Freundin hoffentlich selber raus.
Die Aussage, dass zwischen zwei reellen immer eine rationale liegt ist gerade die Dichtheit der rationalen in den reellen Zahlen und sollte eigentlich überall drinnen stehen. Wie man es genau macht hängt auch davon ab, wie die Vollständigkeit der reellen Zahlen eingeführt wurde (Supremumseigenschaft, Intervallschachtelungsprinzip, Vollständigkeitsaxiom). Ich denke aber mal, dass das jeder Prof im ersten Semester beweist, also kann man sich im dritten Semester durchaus auf diesen Fakt berufen. Deswegen -> erster Absatz.


Von abstoßenden/anziehenden FP hab ich leider auch noch nie was gehört.

 

[Aule2]

evtl stark kontrahierend gemeint, und schwach kontrahierend oder gar > 1 ^^