Nein, das ist keine üblichen Definition und in der "Nun ist"-Zeile hast du nur die De-Morgan-Regeln verwendet, die nachfolgenden Inklusionen in der nächsten Zeile und auch dieses Limes-Ding ist völlig überflüssig.
Nein, die unendliche Vereinigung ist nicht Grenzwert von den endlichen Vereinigungen, dann hätten wir ja wieder einen Grenzwert von Mengenfolgen.
Außerdem könnte man dann nicht die Vereinigung von überabzählbar vielen Mengen bilden, wenn es so wäre. Die Vereinigung aller Mengen A_i mit i € I, wobei I eine beliebige Indexmenge ist, ist wie folgt definiert. Ein Element a ist in dieser Vereinigung, wenn es ein i € I gibt mit a € A_i. In dieser Definition kommt kein Grenzwert vor. Wenn I = N (natürliche Zahlen), dann schreibt man das auch als Vereinigung_i=1^unendlich A_i.
Die Gleichung mit den Limiten von Mengen ist immer noch überflüssig, denn:
Die De Morganschen Regeln gelten auch für beliebige Indexmengen, sogar für überabzählbare:
http://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze
Erstmal die Aussage in deinem Skript ist reichlich überflüssig, denn JEDES Maß (ein Maß ist immer Sigma-additiv) erfüllt beide Stetigkeitseigenschaften, warum also bemerken, das beide dafür äquivalent sind? Siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Maß_(Mathematik)
(Unter der Überschrift "Stetigkeitseigenschaften")
Wenn du dazu nen Beweis brauchst, kann ich dir den gerne aufschreiben, man braucht dazu, dass der Reihenrest einer konvergenten Reihe gegen Null strebt.
Ich denke, die Aussage ist richtig für nur additive Mengenfunktionen P, wenn
P(leere Menge) = 0 (das sollte ja immer gefordert werden) und
P(Omega) endlich ist. Die eine Richtung hast du ja gezeigt, nach "Es folgt damit:" zeigst du, dass aus der aufsteigenden Stetigkeit die absteigende folgt, und brauchst die Voraussetzungen, die ich gerade hingeschrieben habe. Die umgekehrte Richtung sollte analog gehen.
Nur zur Sicherheit: Wir haben immer eine Sigma-Algebra und
P(leere Menge)=0 oder?
"Wenn ich dich nun richtig verstehe, ist das im allgemeinen nicht wahr, da die Endlichkeit des Maßes nicht gefordert wird?"
Wenn man die Stetigkeitseigenschaften richtig definiert, also in dem Link oben bei der Stetigkeit von oben das
P(A1) < unendlich, dann schon, sonst nicht (siehe mein Beispiel zum Lebesguemaß).