Äquivalenz von absteigender und aufsteigender Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Gibts irgendeine Möglichkeit außer extern als Grafik oder ähnliches Latexcode einzubinden?
Ich fügs einfach als Bild ein, post stammt aus nem anderen Matheforum.

Sorry für die Qualität, sie ist bei mir besser kA was da los ist.

 

[SvenGlueckspilz]

Also so wie es da steht ist erstmal für ein allgemeines Maß die Aussage falsch.
Bzw die Stetigkeit von oben ist falsch definiert. Bei der Stetigkeit von oben muss man voraussetzen, dass A1 ein endliches Maß hat. Im Spezialfall des Wahrscheinlichkeitsmaßes ist das natürlich egal. Aber sonst wäre etwa das Lebesguemaß nicht stetig von oben: A_i = (i, unendlich), dann ist der Durchschnitt von diesen leer, aber P(A_i) = unendlich für jedes i, also auch der Limes unendlich. Es ist aber stetig von unten. Mit der richtigen Definition ist es aber stetig von oben und unten.
Mit dieser ist sogar jedes Maß stetig von oben und von unten und DAS zeigt man mit der Sigma-Additivität. Wenn man eine von beiden hat, kann man zumindest im Fall eines endlichen Maßes die Äquivalenz auch ohne erneute Verwendung der Sigma-Additivität zeigen, da braucht man nur die endliche Additivität, die in dem Beweis da auch verwendet wurde (in der Zeile nach "Es folgt damit:").

Btw mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit wurden in der Vorlesung kein Limes von Mengenfolgen definiert, also was soll bitte lim B/A_n bzw B/lim A_n sein
und was soll die Gleichung aussagen?
Man kann zwar Limes inferior und superior von Mengenfolgen definieren, aber für Limiten von Mengenfolgen hab ich noch nie ne Definition gesehen.
(Die Zeile ist also extremer Unsinn.)

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Danke für deine Antwort.

Zum Limes:
Tatsächlich habe ich gestern längere Zeit darüber nachgedacht, was das eigentlich bei Mengenfolgen bedeute. Ich fand, dass dieser nur dann definiert ist, wenn limes superior und limes inferior der Mengenfolgen gleich sind. Dann ist der limes gleich dem limes superior/inferior. Scheinbar keine übliche Definition.

Kurzer Einschub:
Die abzählbar unendliche Vereinigung ist doch nichts anderes als der Grenzwert einer endlichen Vereinigung für n -> unendlich? Anders kenne ich die Verwendung des Unendlichsymbols nicht, d.h. nur im Zusammenhang mit Limiten.

lim B\A_n ist dann als Limes superior/inferior (da nur existent wenn sowieso gleich) zu verstehen. Entsprechend B\lim A_n.

Nochmal zurück:
In der Zeile die mit "Nun ist" beginnt nehme ich an, dass auch bei abzählbar unendlichen Durchschnitten/Vereinigungen wie bei endlichen Durchschnitten/Vereinigungen wie am Ende der Zeile vertauscht werden darf. Da bin ich mir aber nicht so sicher.



Und final:

Wenn man eine von beiden hat, kann man zumindest im Fall eines endlichen Maßes die Äquivalenz auch ohne erneute Verwendung der Sigma-Additivität zeigen, da braucht man nur die endliche Additivität

Ich bin verwirrt. Also ist es richtig, dass bereits auch endlicher Additivität sowie endlichem Maß (was in dem Skript implizit immer gilt) die Äquivalenz von aufsteigender/absteigender Stetigkeit folgt?

Hier steht wortwörtlich "Für Mengenfunktionen, die additiv sind und das Axiom 2.9 (sigma-additivität) erfüllen, gilt: Auf- und absteigende Stetigkeit sind äquivalent [...]".

Wenn ich dich nun richtig verstehe, ist das im allgemeinen nicht wahr, da die Endlichkeit des Maßes nicht gefordert wird?

Vielen Dank!

 

[SvenGlueckspilz]

Nein, das ist keine üblichen Definition und in der "Nun ist"-Zeile hast du nur die De-Morgan-Regeln verwendet, die nachfolgenden Inklusionen in der nächsten Zeile und auch dieses Limes-Ding ist völlig überflüssig.

Nein, die unendliche Vereinigung ist nicht Grenzwert von den endlichen Vereinigungen, dann hätten wir ja wieder einen Grenzwert von Mengenfolgen.
Außerdem könnte man dann nicht die Vereinigung von überabzählbar vielen Mengen bilden, wenn es so wäre. Die Vereinigung aller Mengen A_i mit i € I, wobei I eine beliebige Indexmenge ist, ist wie folgt definiert. Ein Element a ist in dieser Vereinigung, wenn es ein i € I gibt mit a € A_i. In dieser Definition kommt kein Grenzwert vor. Wenn I = N (natürliche Zahlen), dann schreibt man das auch als Vereinigung_i=1^unendlich A_i.

Die Gleichung mit den Limiten von Mengen ist immer noch überflüssig, denn:

Die De Morganschen Regeln gelten auch für beliebige Indexmengen, sogar für überabzählbare: http://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze

Erstmal die Aussage in deinem Skript ist reichlich überflüssig, denn JEDES Maß (ein Maß ist immer Sigma-additiv) erfüllt beide Stetigkeitseigenschaften, warum also bemerken, das beide dafür äquivalent sind? Siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Maß_(Mathematik)
(Unter der Überschrift "Stetigkeitseigenschaften")
Wenn du dazu nen Beweis brauchst, kann ich dir den gerne aufschreiben, man braucht dazu, dass der Reihenrest einer konvergenten Reihe gegen Null strebt.

Ich denke, die Aussage ist richtig für nur additive Mengenfunktionen P, wenn
P(leere Menge) = 0 (das sollte ja immer gefordert werden) und
P(Omega) endlich ist. Die eine Richtung hast du ja gezeigt, nach "Es folgt damit:" zeigst du, dass aus der aufsteigenden Stetigkeit die absteigende folgt, und brauchst die Voraussetzungen, die ich gerade hingeschrieben habe. Die umgekehrte Richtung sollte analog gehen.

Nur zur Sicherheit: Wir haben immer eine Sigma-Algebra und
P(leere Menge)=0 oder?

"Wenn ich dich nun richtig verstehe, ist das im allgemeinen nicht wahr, da die Endlichkeit des Maßes nicht gefordert wird?"
Wenn man die Stetigkeitseigenschaften richtig definiert, also in dem Link oben bei der Stetigkeit von oben das
P(A1) < unendlich, dann schon, sonst nicht (siehe mein Beispiel zum Lebesguemaß).

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

So, bin noch etwas verwirrt:

Erstmal die Aussage in deinem Skript ist reichlich überflüssig, denn JEDES Maß (ein Maß ist immer Sigma-additiv) erfüllt beide Stetigkeitseigenschaften, warum also bemerken, das beide dafür äquivalent sind?

Das Skript spricht wie gesagt von "Mengenfunktionen, die additiv und sigma-additiv sind" (aus Sigma-Additivität folgt doch Additivität?!). Dann ist es ja ein Maß.

Wir haben immer eine Sigma-Algebra und
P(leere Menge)=0 oder?

Ja zu beidem. Ich las jedoch soeben nach, was ich nicht wusste, dass Mengenfunktionen per (einer) Definition der leeren Menge ein Maß von Null zuweisen (Quelle: Wikipedia).

Ich denke, die Aussage ist richtig für nur additive Mengenfunktionen P, wenn
P(leere Menge) = 0 (das sollte ja immer gefordert werden) und
P(Omega) endlich ist.

Ok, danke. Man braucht aber doch eigentlich nur P(Omega) + Additivität fordern, oder? Denn P(leere Menge) folgt ja aus der Existenz einer Menge mit einem endlichen Maß.

 

[SvenGlueckspilz]

Aus der Sigma-Additivität folgt die Additivität, man kann ja zu einer endlichen Vereinigung abzählbar oft die leere Menge hinzu vereinigen.

Wenn eine Menge mit endlichem Maß existiert, dann kann man mit der Additivität P(leere Menge) = 0 auch folgern:
P(Omega) = P(leere Menge vereinigt Omega) = P(leere Menge) + P(Omega).
Da hatte ich nicht dran gedacht, als ich nachgefragt habe.
Ich hab primär nachgefragt, weil mich einfach diese sinnlose Aussage über diese Äquivalenz verwirrt und wollte wissen, ob irgendwas nicht stimmt und doch kein Maß vorliegt. Auch wundert mich, dass nicht der Begriff Maß verwendet wird, sondern Sigma-additive Mengenfunktion.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Aus der Sigma-Additivität folgt die Additivität, man kann ja zu einer endlichen Vereinigung abzählbar oft die leere Menge hinzu vereinigen.

Genau, bin bei Mathematik etwas Authoritätsgläubig ob meiner eigenen Fähigkeiten Daher bin ich dann doch lieber wegen möglicher übersehener Spezialfälle vorsichtig^^

Wenn eine Menge mit endlichem Maß existiert, dann kann man mit der Additivität P(leere Menge) = 0 auch folgern:
P(Omega) = P(leere Menge vereinigt Omega) = P(leere Menge) + P(Omega).
Da hatte ich nicht dran gedacht, als ich nachgefragt habe.
Ich hab primär nachgefragt, weil mich einfach diese sinnlose Aussage über diese Äquivalenz verwirrt und wollte wissen, ob irgendwas nicht stimmt und doch kein Maß vorliegt. Auch wundert mich, dass nicht der Begriff Maß verwendet wird, sondern Sigma-additive Mengenfunktion.

Ich zeig dir einfach mal das Skript, habs eh ausm Inet:
http://www.uni-graz.at/imawww/peichl/statistik.pdf
Seite 23 (einfach oben eingeben)

Tatsächlich wird vorher von "Wahrscheinlichkeitsmaß" gesprochen, bei dem Satz dann aber von sigma-additiver Mengenfunktion.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, also der Satz ist so einfach falsch, wie man an meinem Beispiel zum Lebesgue-maß sieht, weil er bei der absteigenden Stetigkeit nicht gefordert hat, dass P(A1) < infty.
Ich vermute sehr stark, dass statt (2.9) dort (2.8) gefordert werden sollte, dann macht der Satz deutlich mehr Sinn. Außerdem wird (2.8) im Beweis verwendet. Mein Tipp: Tippfehler

Denn so wie es da steht ist es falsch und mit (2.8) ist es richtig und sogar sinnvoll.

Es ist sogar so, dass im zumindest im Fall P(Omega) = 1 gilt:
Additivität + Stetigkeit von unten/ oben = Sigma-Additivität, steht auch in Proposition 2.2 und dort wird wieder Proposition 2.1 zum Beweis benutzt, was hochgradig sinnlos wäre, wenn dort eh (2.9) also Sigma-Additivität gefordert würde. edit: Ok, wäre doch nicht sinnlos, da das nur für die eine Richtung benutzt wird, wo man von der Sigma-Additivität startet. Ändert aber nichts daran, dass es nur mit (2.8) statt (2.9) richtig wird. Hatte das nur überflogen.

Frag mal deinen Prof, ob das ein Tippfehler ist. Wenn nicht, geb ich ein Bier aus

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Ich kenne den Typen nicht, hatte nur Bock Statistik zu lernen.
Aber deine Vermutung ist sehr sinnvoll im Angesichts des Dargelegten.
Kauf ich einfach mal! Vielen Dank!^^

 

[SvenGlueckspilz]

Achso, ich seh auch grad, dass das Skript so alt ist, dass es fast schon schimmelt

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Überlege trotzdem Ihm zu schreiben

 

[SvenGlueckspilz]

Du willst nur das Bier

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Actually is Cola Light