Mathefrage: Ist 0,999 periode kleiner als 1?

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Also, nochmal zusammenfassend:

Die Zahl 0, PERIODE 9, d.h. unendliche viele 9en nach dem Komma ist deshalb 1, weil a)

Die Summe 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... gemäß der geometrischen Reihe konvergiert und diese mit 9 multipliziert als Limes, d.h. Grenzwert, die 1 hat. Dies bedeutet, dass die Reihe beliebig nahe an 1 herankommt. Da es ob der DICHTHEIT der reellen Zahlen zwischen verschiedenen Zahlen immernoch eine weitere gibt, dies hier nicht der Fall ist, sind die Zahlen(darstellungen) identisch.

edit:

geil, mit a ) angefangen und dann kein b) genannt me fails

 

[Ancient]

Dies bedeutet, dass die Reihe beliebig nahe an 1 herankommt.

Die Reihe ist 1. Was du meinst: Die Folge der Partialsummen kommt beliebig nahe an 1 ran.

 

[SvenGlueckspilz]

Nicht ganz ^^
Die Reihe kommt nicht beliebig nah an 1 heran, sondern die Reihe hat den Wert 1. Beweis Ende.
In diesem Beweis wird keine Dichtheit von irgendwas verwendet, sondern nur eine Formel um 0,9 Periode einfach auszurechnen. Und was meinst du mit Dichtheit der reellen Zahlen eigentlich? Man kann sagen, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen liegen. Das bedeutet, dass es zu jeder reellen Zahl x und jedem Abstand epsilon
eine rationale Zahl q gibt mit |x - q| < epsilon. Aber die Tatsache, dass es zwischen zwei verschiedenen Zahlen eine weitere Zahl gibt, nennt man nicht Dichtheit.

edit: Ok Ancient ist mir zuvorgekommen, hätte mal vorher aktualisieren sollen ^^

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Sie ist nur 1, wegen der Dichtheit von R.
Limes ist erstmal nur, dass der Abstand zwischen Folgen/Reihenwert und Grenzwert beliebig klein wird.

 

[SvenGlueckspilz]

Nein, der Limes einer Folge und damit auch der Wert einer Reihe ist eine ZAHL.
Zwei Zahlen sind entweder gleich oder nicht. Der Limes einer Folge strebt nicht gegen irgendwas, sondern der Limes einer Folge IST eine Zahl.
Und die Dichtheit von R gibt es immer noch nicht.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Ich bestreite nicht, dass das eine Zahl ist, kA wo das stehen soll bei mir.
Das Argument "Nenne doch eine Zahl zwischen den "beiden" Zahlen" ist irgendwie seltsam. In den natürlichen Zahlen gibts auch keine Zahl zwischen 4 und 5.
Bezüglich der Dichtheit habe ich mich anscheinend geirrt.

 

[Ancient]

Du hasts nicht verstanden.

Limes ist erstmal nur, dass der Abstand zwischen Folgen/Reihenwert und Grenzwert beliebig klein wird.

Der Wert der Reihe wird nichts, der Wert der Reihe ist die Zahl 1. Du verwechselst die Reihe mit ihren Partialsummen.

 

[SvenGlueckspilz]

Das mit dem "nenne doch mal eine Zahl dazwischen" ist ein anderer Beweis.
Der von Ancient braucht nur die Formel für die geometrische Reihe. Der verwendet dieses Argument gar nicht.

 

[Brusko651]

Die Diskussion wird langsam ziemlich langweilig.
Ihr wiederholt immer nur die selben "Argumente", die im Grunde genommen lauten "Schau dir meine Rechnung an! 1 kommt raus! Ich habs ausgerechnet!"

Wird euch das nicht zu langweilig

 

[Ancient]

Die Diskussionen sind doch faszinierend.

http://www.gutefrage.net/frage/ist-0-9999-1
http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:0.999.../Archive_index

 

[Brusko651]

Weder nein noch ja! Deine Frage ist begründet und es ist eine der Grundfragen der Mathematik. Mögen sich alle Mathematiker hier nun ermutigt fühlen, eine zufriedenstellende und nachvollziehbare Antwort zu geben.

Ich habe es nämlich auch bis heute nicht verstanden.

Streng genommen würde ich sagen, dass 0,9999999999.... nicht gleich 1 ist, weil immer noch ein Bruchteil zur vollen 1 fehlt.

Aber je häufiger sich die 9 hinter dem Komma findet, um so höher ist der Näherungswert zur 1 hin, so dass es irgendwann mal keinen praktischen Nutzen mehr hat, die Unterscheidung zwischen 0,999999999999999.... und 1 zu machen.

So, jedenfalls denke ich - pragmatisch! :-))

 

[Bowser]

pragmatisch, in der tat. also muss man nur die neunen hinter dem komma zählen um zur lösung zu gelangen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Du hasts nicht verstanden.


Der Wert der Reihe wird nichts, der Wert der Reihe ist die Zahl 1. Du verwechselst die Reihe mit ihren Partialsummen.

:

Das was du hinschreibst ist die Kurzform des Limes von n gegen unendlich der Partialsummen. Das heißt "erstmal" steht dort nur, dass die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, was gemäß der Konvergenzdefinition bedeutet, dass sich diese Folge für n -> unendlich beliebig der 1 nähert.
Das ist sowieso, ganz ohne Rechnung, klar, denn das 0,9999... sich immer mehr der 1 nähert, dürfte auch jedem der nicht mit Mathematik zu tun hat, klar sein.
Die Unklarheit entsteht doch erst dabei, dass der Grenzwert eine andere Darstellung der 1 ist.
Allgemein ist das bei Grenzwerte aber nicht so, etwa geht 1/x gegen unendlich für x-> 0, aber ist an der Stelle x = 0 nicht definiert. Daher würde man nicht sagen 1/0 = Unendlich.(Auch wenn das in diversen Musterlösungen von Ingenieursfächern zu lesen ist).

 

[Ancient]

Das was du hinschreibst ist die Kurzform des Limes von n gegen unendlich der Partialsummen.

Genau, und der Limes beziehungsweise die Reihe nähert sich eben nicht einem Wert (wie du geschrieben hast) an, sondern ist eine Zahl.

Das heißt "erstmal" steht dort nur, dass die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, was gemäß der Konvergenzdefinition bedeutet, dass sich diese Folge für n -> unendlich beliebig der 1 nähert.

Soweit richtig.

Das ist sowieso, ganz ohne Rechnung, klar, denn das 0,9999... sich immer mehr der 1 nähert, dürfte auch jedem der nicht mit Mathematik zu tun hat, klar sein.

arrrrrrrrrrgh!

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

arrrrrrrrrrgh!

gutes argument. Bin "überzeugt".

 

[Brusko651]

Das ist aber finde ich ein berechtigter "Streitpunkt", der so noch nicht geklärt worden ist:
Warum muss eine "unendliche Summe", also eine "Reihe" zwangsläufig das selbe sein, wie der Grenzwert ihrer Teilsummen?

 

[Brusko651]

Damit landet man vielleicht wieder bei dem Argument der "Zahl dazwischen".

Wenn die Summe 9/10^i für i->unendlich irgendetwas anderes wäre als 1, sagen wir mal eine Zahl 0.99999... = a < 1.

Dann gäbe es aber ein N sodass ab diesem N alle für alle n€N:
1 - Summe(i=1)^n {9/10^i} < 1-a ist.

Das heißt ab einer gewissen Anzahl an 9ern ist die Summe dann größer als a. Also kann schlecht a rauskommen wenn man unendlich weit weiter zusammenrechnet.

 

[SvenGlueckspilz]

gutes argument. Bin "überzeugt".

Auch wenn ich sehe, dass ARGH! für den Nichtmathematiker nicht sehr überzeugend ist, musste ich als Mathematiker doch genau das gleiche denken.
Das Problem ist: 0,9999.... ist eine Zahl. Die kann sich nicht an etwas annähern. Eine Zahl bleibt die ganze Zeit gleich, kann sich also nicht irgendwo annähern. Entweder ist 0,9999... = 1 oder eben nicht, aber es nähert sich nicht in dem Sinne an. Was man sagen könnte ist folgendes:
Wenn ich die Folge a_n = 0,9999...9 (n neunen nach dem Komma) definiere.
Dann strebt a_n gegen 1, wenn n gegen unendlich strebt. Anders formuliert
0,9999... = Limes a_n für n gegen unendlich = 1
Warum jetzt dieser Limes = 1 ist kann man auf verschiedene Art und Weisen begründen. Zum Beispiel durch Ancients Rechnung mit der Reihe.
Denn 10 * a_n ist gerade die n-te Partialsumme der Reihe (das heißt man nimmt nur die ersten n Summanden und addiert diese). Diese strebt dann gegen 10, weil das nunmal so die Formel für die geometrische Reihe so sagt.

Und Brusko: Mathematik funktioniert eben nicht so, dass man viele Indizien sammelt um etwas zu begründen, sondern man braucht genau einen richtigen Beweis. Wenn ich einen korrekten Beweis gemacht habe und jemand will den nicht einsehen, mach ich nicht noch einen anderen, sondern versuche demjenigen meinen einen schon gemachten Beweis näher zu bringen

Das ist aber finde ich ein berechtigter "Streitpunkt", der so noch nicht geklärt worden ist:
Warum muss eine "unendliche Summe", also eine "Reihe" zwangsläufig das selbe sein, wie der Grenzwert ihrer Teilsummen?

Ganz einfach, weil es so definiert ist! Das ist die Definition des Reihenwertes, falls dieser Grenzwert existiert.

 

[Brusko651]

Ganz einfach, weil es so definiert ist! Das ist die Definition des Reihenwertes, falls dieser Grenzwert existiert.

Du machst dir's aber schon ein bisschen einfach *g*

Dann ist halt die Frage, ob die 0.9periodisch zu definieren ist als die Reihe zur Folge 9/10^i, oder als das, was herauskommt, wenn man die Folgenglieder der Folge 9/10^i bis in die Unendlichkeit (was auch immer das bedeutet) zusammenrechnet, was vielleicht etwas anderes ist?

 

[SvenGlueckspilz]

Du machst dir's aber schon ein bisschen einfach *g*

Dann ist halt die Frage, ob die 0.9periodisch zu definieren ist als die Reihe zur Folge 9/10^i, oder als das, was herauskommt, wenn man die Folgenglieder der Folge 9/10^i bis in die Unendlichkeit (was auch immer das bedeutet) zusammenrechnet, was vielleicht etwas anderes ist?

Nee ich machs mir nicht einfach Die Definition ist genau die: Der Reihenwert ist der Grenzwert der Partialsummen. Dass das so ist, da kann ich ja nix für ^^
Und warum 0,9Periode als die Reihe anzusehen ist.
Jetzt mach ichs mir wieder einfach: Es ist nunmal so definiert.
Wenn du im 10er-System eine Zahl über die Dezimaldarstellung angeben willst, dann geht das so:
(Ich mach jetzt mal nur für Zahlen, die eine 0 vor dem Komma haben.)
Also wenn ich die Zahl 0, a_1 a_2 ... habe, das heißt a_n ist die Folge der Nachkommastellen. Dann ist das nach Definition die Zahl Reihe über
a_n/10^n

Ich meine, frag dich mal, wenn du so eine Dezimalzahl hast, wie ist die definiert? Alle Nichtmathematiker rechnen damit einfach rum und denken wahrscheinlich eine Zahl ist über ihre Dezimaldarstellung definiert. Das ist aber nicht so, es ist so, dass man beweisen kann, dass jede reelle Zahl eine Darstellung als Dezimalzahl besitzt. Und mit der Dezimaldarstellung ist die Zahl gemeint, die man durch diese Reihe erhält. Das ist die DEFINITION

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Auch wenn ich sehe, dass ARGH! für den Nichtmathematiker nicht sehr überzeugend ist, musste ich als Mathematiker doch genau das gleiche denken.
Das Problem ist: 0,9999.... ist eine Zahl. Die kann sich nicht an etwas annähern. Eine Zahl bleibt die ganze Zeit gleich, kann sich also nicht irgendwo annähern. Entweder ist 0,9999... = 1 oder eben nicht, aber es nähert sich nicht in dem Sinne an. Was man sagen könnte ist folgendes:
Wenn ich die Folge a_n = 0,9999...9 (n neunen nach dem Komma) definiere.
Dann strebt a_n gegen 1, wenn n gegen unendlich strebt. Anders formuliert
0,9999... = Limes a_n für n gegen unendlich = 1
Warum jetzt dieser Limes = 1 ist kann man auf verschiedene Art und Weisen begründen. Zum Beispiel durch Ancients Rechnung mit der Reihe.
Denn 10 * a_n ist gerade die n-te Partialsumme der Reihe (das heißt man nimmt nur die ersten n Summanden und addiert diese). Diese strebt dann gegen 10, weil das nunmal so die Formel für die geometrische Reihe so sagt.

Und Brusko: Mathematik funktioniert eben nicht so, dass man viele Indizien sammelt um etwas zu begründen, sondern man braucht genau einen richtigen Beweis. Wenn ich einen korrekten Beweis gemacht habe und jemand will den nicht einsehen, mach ich nicht noch einen anderen, sondern versuche demjenigen meinen einen schon gemachten Beweis näher zu bringen

Ich rede nicht von einer Zahl die sich annähert. Wie kommt ihr darauf?
Die Folge der Partialsummen konvergiert für n gegen unendlich eben gegen 1. Das ist so wie man das üblicherweise formuliert geschrieben.

 

[SvenGlueckspilz]

Oh man, es ging doch um das "aaaarrgh" von Ancient, was du wiederum gequotet hast, was sich wiederum auf ein Quote bezog in dem stand, dass 0,9999... sich immer mehr der 1 nähert, was aus Gründen die ich erklärt habe, Unsinn ist. Denn 0,9999... steht hier in dem Thread eigentlich für 0,9 Periode und das ist eine verdammte Zahl.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Oh man, es ging doch um das "aaaarrgh" von Ancient, was du wiederum gequotet hast, was sich wiederum auf ein Quote bezog in dem stand, dass 0,9999... sich immer mehr der 1 nähert, was aus Gründen die ich erklärt habe, Unsinn ist. Denn 0,9999... steht hier in dem Thread eigentlich für 0,9 Periode und das ist eine verdammte Zahl.

0,9999... stand dort für die folge/reihe, das man also immer eine weitere 9 dran hängt.

 

[zerg123]

Die Summe 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... gemäß der geometrischen Reihe konvergiert und diese mit 9 multipliziert als Limes, d.h. Grenzwert, die 1 hat. Dies bedeutet, dass die Reihe beliebig nahe an 1 herankommt. Da es ob der DICHTHEIT der reellen Zahlen zwischen verschiedenen Zahlen immernoch eine weitere gibt, dies hier nicht der Fall ist, sind die Zahlen(darstellungen) identisch.

Frage:
Was passiert eigentlich wenn man 0.99.. * irgendwas nimmt, z.B. pi ? Es gibt zwischen den verschiedenen zahlen, also 0.99*pi un 1*pi immer noch eine weitere?

 

[Brusko651]

Frage:
Was passiert eigentlich wenn man 0.99.. * irgendwas nimmt, z.B. pi ? Es gibt zwischen den verschiedenen zahlen, also 0.99*pi un 1*pi immer noch eine weitere?

nein natürlich nicht, weil 0.9periodisch ist ja gleich 1.
das heißt es kommt exakt das selbe heraus.
(und zwar pi).

edit:
du hast halt erst die ersten zwei Ziffern multipliziert.
Wenn man konsequent weiter macht dann "füllt" sich das 2.7 schon noch von hinten auf.

Aber mit pi ist halt ein schweres Beispiel, weil etwas mit pi zu multiplizieren ist ja sowieso schon mühsam.

Probiers mal mit 3,2 oder so:

3,2 * 0,9 = 2,88
3,2*0,09= 0,288
3.2 *0,009=0,0288
usw.

Das geht sich schon ganz gut aus.

 

[Ancient]

Ich rede nicht von einer Zahl die sich annähert. Wie kommt ihr darauf?

Na weil du es geschrieben hast.

Dies bedeutet, dass die Reihe beliebig nahe an 1 herankommt.

 

[zerg123]

Probiers mal mit 3,2 oder so:

3,2 * 0,9 = 2,88
3,2*0,09= 0,288
3.2 *0,009=0,0288
usw.

Das geht sich schon ganz gut aus.

Das das mit 3,2 so passt ist mir schon klar, nur ist eben 3,2 nicht Pi, die ja unter anderem die Eigenschaft besitzt sowohl unendlich lang zu sein, wie auch nicht periodisch. Da passt die Argumentation mit füllt sich auf auch irgendwie nicht so recht, da man auf der einen Seite 0....9 immer genauer wird, auf der anderen Seite liefert Pi aber eben auch unendlich unterschiedliche stellen nach welche nach neuer Genauigkeit verlangen.

 

[Ancient]

Das Problem ist nich 0.99..., sondern dass du nicht alle Nachkommastellen von Pi kennst. Deshalb schreibt man x*Pi ja auch nicht als Dezimalzahl, sondern lässt es als x*Pi stehen wenn man genau bleiben will.
Glücklicherweise lässt sich 0.99.. als 1 schreiben, damit wird die Rechnung dann einfach.

 

[zerg123]

0,99... lässt sich laut deiner Argumentation als 1 schreiben, da es eine Reihe derart gibt.
Pi kann man nicht als Reihe darstellen oder? Logischerweise entsteht dann auch keine Reihe wenn man PI mit 0.99.. multipliziert? Bzw keine die man angeben könnte ohne auf den Ausdruck "Pi" zurückzugreifen"?
Also könnte man 0.99 nicht aus dem Produkt ausklammern? Und somit nicht zeigen, dass 0.99=1 ist?
Fragen über Fragen

 

[Ancient]

Natürlich lässt sich Pi als Reihe darstellen.

 

[ROOT]

Leute, hört auf Ancient, er ist so ziemlich der einzige hier und in der Vorgeschichte im OT, der nicht an vereinzelten Stellen groben Unfug schreibt.

 

[SvenGlueckspilz]

0,9999... stand dort für die folge/reihe, das man also immer eine weitere 9 dran hängt.

Also dann sollte sich die Leute "dort", wo auch immer das war, dringend eine andere Notation angewöhnen, weil kein Mathematiker auf dieser Welt würde mit 0,9999... eine Folge bezeichnen und auch keine Reihe.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Also dann sollte sich die Leute "dort", wo auch immer das war, dringend eine andere Notation angewöhnen, weil kein Mathematiker auf dieser Welt würde mit 0,9999... eine Folge bezeichnen und auch keine Reihe.

Ich verwende in diesem Thread sicherlich kein Latex und das per Text anders aufzuschreiben ist doof.

 

[SvenGlueckspilz]

Naja, wenn du ne andere Sprache sprichst, brauchst du dich nicht zu wundern, wenn dich keiner versteht.

 

[miro99]

ich find es ziemlich klar was mit 0,999.... gemeint ist.

 

[SvenGlueckspilz]

Und das wäre?

 

[Lurchie]

Scheint ja ein alter Fred zu sein.

Selbstverständlich ist 0,999..., wenn man es als Grenzwert der Folge [0,9;0,99; ... ] schreibt genau gleich 1.

Aber man kann 0,999... auch als Infinitesimalzahl sehen (womit es keine reelle Zahl ist) und dann ist 0,999... echt kleiner als 1.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich behaupte mal einfach so, dass hier niemand Non-Standard-Analysis betreibt und nicht weiß was ein Infinitesimalzahl ist, die es in den reellen Zahlen ja gar nicht gibt. Wir haben vermutlich alle von der reellen Zahl 0,9999... geredet. Und nein, selbst wenn man Non-Standard-Analysis machen möchte, kann man 0,9999... nicht als Infinitesimalzahl ansehen, weil ganz klar definiert ist, welchen Wert eine Zahl mit gegebener Dezimaldarstellung hat. 0,9999... ist definiert, als die Zahl mit dem Wert der unendlichen Reihe 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ...
und dieser Wert ist 1. Es ist einfach so definiert und damit keine Ansichtssache, was rauskommt.
Abgesehen davon ist eine Infinitesimalzahl eine kleinste Zahl, die > 0 ist (die es in den reellen Zahlen nicht gibt) und keine größte Zahl, die < 1 ist.

 

[Lurchie]

Ich behaupte mal einfach so, dass hier niemand Non-Standard-Analysis betreibt und nicht weiß was ein Infinitesimalzahl ist, die es in den reellen Zahlen ja gar nicht gibt. Wir haben vermutlich alle von der reellen Zahl 0,9999... geredet. Und nein, selbst wenn man Non-Standard-Analysis machen möchte, kann man 0,9999... nicht als Infinitesimalzahl ansehen, weil ganz klar definiert ist, welchen Wert eine Zahl mit gegebener Dezimaldarstellung hat. 0,9999... ist definiert, als die Zahl mit dem Wert der unendlichen Reihe 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ...
und dieser Wert ist 1. Es ist einfach so definiert und damit keine Ansichtssache, was rauskommt.
Abgesehen davon ist eine Infinitesimalzahl eine kleinste Zahl, die > 0 ist (die es in den reellen Zahlen nicht gibt) und keine größte Zahl, die < 1 ist.

Es gibt nicht nur eine Infinitesimalzahl.

Und es gibt eine Infinitesimalzahl, die kleiner als 1 ist, aber größer als jedes reelle x, welches kleiner ist als 1. Ich finde es garnicht so abwegig, diese Zahl als 0,999... zu definieren.

 

[SvenGlueckspilz]

Nun ok vielleicht gibt es mehr als eine, aber 0,999... ist jedenfalls keine, weil 0,999... so definiert ist, wie ich oben geschrieben habe und damit = 1 ist.