Vektorrechnung

[ShiNi]

Hey Leute, schreib in 4 Tagen eine Matheprüfung, im Prinzip kein Problem, allerdings hab ich schon seit ca 4 Jahren keine Vektorrechnung gehabt und wollt mal fragen, ob ihr mir kurz helfen könnt, vermutlich sind die Aufgaben relativ einfach.

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1.Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren u= (2,0,0)^T, v= (0,2,0)^T und w= (1,1,1)^T

a)Zeigen Sie, dass u, v und w linear unabhängig zueinander sind.

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene durch den Punkt A= (1,1,1) parallel zu den Vektoren u und v.

c) Bestimmen Sie das Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds.

2.Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte A= (1,1,1), B= (3,1,1) und C= (1,3,1)

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A,B und C nicht auf einer Geraden liegen.

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A, B und C verläuft.

c) Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks mit den Ecken A, B und C.

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Wär echt nett, wenn die mir jmd. kurz erklären könnte. Wie gesagt, ist schon lange her, dass ich Vektorrechnung hatte und das einzige was ich noch weiß, ist wie man Vektoren addiert und Skalarprodukt/Kreuzprodukt.

Vielen Dank im Vorraus!

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hey Leute, schreib in 4 Tagen eine Matheprüfung, im Prinzip kein Problem, allerdings hab ich schon seit ca 4 Jahren keine Vektorrechnung gehabt und wollt mal fragen, ob ihr mir kurz helfen könnt, vermutlich sind die Aufgaben relativ einfach.

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1.Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren u= (2,0,0)^T, v= (0,2,0)^T und w= (1,1,1)^T

a)Zeigen Sie, dass u, v und w linear unabhängig zueinander sind.
Die Vektoren als Spalten einer Matrix(ich nenne sie A) auffassen(z.B. u = 1. spalte etc) und dann versuchen die Gleichung A*x = 0 zu lösen, wobei x ein vektor mit konstanten koeffizienten ist. Ist die Lösung nur der Nullvektor(d.h. x = (0,0,0)) dann sind die vektoren lin. unabhängig.
Das kommt daher, dass lin. unabhängigkeit so definiert ist, dass die gleichung a*u+b*v+c*w = 0 nur für a = b = c = 0 eine Lösung hat. u,v,w sind hier deine vektoren bzw allgemein irgendwelche vektoren.

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene durch den Punkt A= (1,1,1) parallel zu den Vektoren u und v.
Eine Ebene hat immer 2 Richtungsvektoren und einen Stützvektor. A ist offensichtlich letzteres. Was sind dann u und v?

c) Bestimmen Sie das Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds.
Such einfach bei wikipedia danach bzw bei google. Das sollte eigentlich in jedem Skript als Standardformel enthalten sein.

2.Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte A= (1,1,1), B= (3,1,1) und C= (1,3,1)

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A,B und C nicht auf einer Geraden liegen.
Stell eine Geradengleichung auf z.B. mit A als stützvektor und B-A als RIchtungsvektor und zeige dass C nicht erreicht wird
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A, B und C verläuft.
Einen Punkt als Stützvektor nutzen und die Differenz von den anderen und dem gewählte stützvektor als Richtungsvektoren

c) Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks mit den Ecken A, B und C.
z.B. Länge der Seiten bestimmen und Formeln für Dreiecke nachschlagen

Bitte

 

[ShiNi]

Vielen Dank, hat mir gut geholfen, hab mich grad mal rangesetzt und die Aufgaben gelöst.

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1.Aufgabe

a)
.....(2 0 1)*(x) <=> 2x+z=0
.....(0 2 1)*(y) <=> 2y+z=0
.....(0 0 1)*(z) <=> z=0

=> z=0, y=0, x=0 => Ergibt sich nur der Nullvektor (0,0,0) => Linear unabhängig.

b)

E: x= (1,1,1)+r*(2,0,0)+s*(0,2,0)

c)

V=|(a X b)*c|= |(2,0,0) X (0,2,0) *(1,1,1) = |(0,0,4)*(1,1,1)|= 4 RE (Raumeinheiten?)


2.Aufgabe

a)

g: x= (1,1,1)+t*(2,0,0)=(1,3,1) <=> 1+t*2=1 <=> t=0

=> C liegt nicht auf der Geraden.

b)

E: x=(1,1,1)+r*(2,0,0)+s*(0,2,0)


c)

A= 1/2 * |AB X AC| <=> 1/2 *Wurzel(0²+0²+4²)= 2 FE

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Stimmt das so? Und bei der Aufgabe 1 hab ich das "^T" jetzt ignoriert. Geht das so oder was muss ich damit machen?

 

[zerg123]

1a stimmt so nicht. x,y,z konstant, nicht 3 mal x.

 

[ShiNi]

Habs mal editiert, hast vollkommen recht, sollte jetzt stimmen ?!

 

[Caro]

hey,

du kannst Aufgabe 1 a und c auch direkt zusammenfassen. Habt ihr gelernt was eine Determinante ist?
Falls ja, kannst du auch einfach diese berechnen. Ist die Determinante != 0, hast du schonmal gezeigt das die Vektoren der Matrix (die von den 3 Vektoren gebildet wird) linear unabhängig sind. Und zusätzlich ist der Absolutbetrag der Determinante auch das Volumen des von den 3 Vektoren aufgespannten Parallelopids.

2 Fliegen mit einer Klatsche ist immer gut ^^ und die Determinante einer 3x3 Matrix ist auch sehr schnell mit beispielsweise der Regel von Sarrus gelöst.


:hy:

 

[Brusko651]

Stimmt das so? Und bei der Aufgabe 1 hab ich das "^T" jetzt ignoriert. Geht das so oder was muss ich damit machen?

das ^T bedeutet nur dass der Vektor vertikal aufzuschreiben ist statt horizontal.

also
..2
( 0 ) = u.......statt (2,0,0)=u
..0

Im Grunde genommen ist es aber eigentlich egal ob man's vertikal oder horizontal aufschreibt.

zu deiner Lösung von Aufgabe 1:
ist natürlich grundsätzlich richtig, aber etwas verwirrend aufgeschrieben.

so würd ichs aufschreiben:
x*(2,0,0) + y*(0,2,0) + z*(1,1,1) = 0

<=>
2x+z=0
2y+z=0
z=0

=> z=x=y=0..
Also sind die 3 Vektoren l.u.


Oder mit Matrixschreibweise:

..2 0 1........x
.(0 2 1 ).*..( y ) = (0,0,0)
..0 0 1.........z

<=>
2x+z=0
2y+z=0
z=0

=> x=y=z=0

edit: ok, ich seh schon, is bisschen schwer in dem forum eine matrix schön aufzuschreiben^^ hab jetzt mal auch n haufen "..." dazwischen gemacht.

 

[ShiNi]

das ^T bedeutet nur dass der Vektor vertikal aufzuschreiben ist statt horizontal.

also
..2
( 0 ) = u.......statt (2,0,0)=u
..0

Im Grunde genommen ist es aber eigentlich egal ob man's vertikal oder horizontal aufschreibt.

zu deiner Lösung von Aufgabe 1:
ist natürlich grundsätzlich richtig, aber etwas verwirrend aufgeschrieben.

so würd ichs aufschreiben:
x*(2,0,0) + y*(0,2,0) + z*(1,1,1) = 0

<=>
2x+z=0
2y+z=0
z=0

=> z=x=y=0..
Also sind die 3 Vektoren l.u.


Oder mit Matrixschreibweise:

..2 0 1........x
.(0 2 1 ).*..( y ) = (0,0,0)
..0 0 1.........z

<=>
2x+z=0
2y+z=0
z=0

=> x=y=z=0

edit: ok, ich seh schon, is bisschen schwer in dem forum eine matrix schön aufzuschreiben^^ hab jetzt mal auch n haufen "..." dazwischen gemacht.

Ah okay, danke.

Ich denk mal der Rest stimmt, da sich keiner zu geäußert hat. Hab leider keine Lösungen für die Aufgaben, kann mich also nicht selbst überprüfen und muss wissen ob das stimmt, was ich da mache =/

 

[Brusko651]

2.Aufgabe

a)

g: x= (1,1,1)+t*(2,0,0)=(1,3,1) <=> 1+t*2=1 <=> t=0

=> C liegt nicht auf der Geraden.

hier hast du nicht ganz richtig geschlossen. (beziehungsweise zu früh aufgehört)
t=0 ist an sich noch kein Widerspruch weil (1,1,1) + 0*(2,0,0) liegt auch auf der Gerade. Das ist nämlich der Punkt (1,1,1).

Was du zeigen musst ist, dass es kein solches t gibt, sodass (1,1,1)+t*(2,0,0)=(1,3,1)

Dafür musst du mehrere Zeilen von der Gleichung betrachten:

erste zeile:
1+2t=1 => t=0
zweite zeile:
1+0=3 => Widerspruch!

also liegt C nicht auf der Gerade.
(in dem Fall hätts also doch gereicht nur die zweite zeile der gleichung zu betrachten.)

(Egal welchen Wert du für t wählst, 1+0*t wird nie 3 ergeben. Also kann es sich nicht ausgehen, dass der Punkt (1,3,1) auf der Gerade (1,1,1)+t*(2,0,0) liegt.)

Ein anderer Widerspruch wäre zB wenn dir bei einer der Gleichungen rauskommt t=0 und bei einer anderen t=1 oder so. Weil t kann ja nicht beides gleichzeitig sein.

 

[Brusko651]

das andere zeug sieht alles richtig aus.

Es könnte natürlich sein dass bei "bestimmen sie die Gleichung der Ebene bla" auch noch gemeint ist dass man die allgemeine Form der Ebenengleichung ausrechnet, also sowas wie 2x+3y+z=5.

das wäre im Fall von deiner Ebene einfach die Gleichung z=1.

 

[ShiNi]

Ah super, vielen Dank, dass du nochmal drüber geguckt hast Dann weiß ich wenigstens, dass ich generell auf dem richtigen Weg bin.