Casinostrategie

[moepehl]

Hallo bw.de

Ich lern gerade für meine Diplomprüfungen und geh hier alte Übungsaufgaben durch. Zu der folgenden hab ich eine Lösung, weiß aber nicht ob sie richtig ist. Vielleicht können die pr0s hier ja mal drübergucken.

Wir nehmen in einem Casino an einem Spiel mit Gewinnwahrscheinlichkeit p = 1/2 teil. Wir können einen beliebigen Betrag einsetzen. Geht das Spiel zu unseren Gunsten aus, erhalten wir den Einsatz zurück und zusätzlich denselben Betrag aus der Bank. Endet das Spiel ungünstig, verfällt unser Einsatz. Wir betrachten die folgende Strategie:

i:=0
REPEAT
setze 2^i$
i:=i+1
UNTIL(ich gewinne zum ersten Mal)

Bestimme den erwarteten Gewinn dieser Strategie und die erwartete notwendige Liquidität (also den Geldbetrag, den man zur Verfügung haben muss, um diese Strategie ausführen zu können).

Erwarteter Gewinn ist 1, da

(für alle i).

Um die Liquidität zu berechnen, hab ich die geometrische Verteilung angenommen und nach http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung den Erwartungswert wie folgt berechnet:

Irgendwie kann das doch nicht sein, oder? Wenn ich in der ersten Runde verliere, habe ich ja nicht mehr genug Geld, um nach der Strategie weiterzuspielen. Ist vielleicht die Verteilung falsch? Ich bedanke mich im vorraus

Gruß,
moepehl

 

[Brusko651]

Das dürfte schon richtig sein so.

Du hast eine Chance von 1/2 zu gewinnen.
Also wie oft musst du spielen bis du gewinnst? Im Durchschnitt 2 mal.

edit: achso, ich glaube du hast aber was anderes berechnet^^ moment, ich les nochmal.

edit2: hmm also von diesem geometrische-Verteilungszeugs versteh ich nichts.
Aber ich würd sagen, wie viel Geld man braucht müsste sich doch so ausrechnen lassen:

Mit 1/2 Wahrscheinlichkeit wirst du bei der ersten Ziehung gewinnen, dann bräuchtest du nur 1€.
Mit 1/4 Wahrscheinlichkeit würdst du bei der zweiten Ziehung gewinnen, dann bräuchtest du 2€.
usw.

Also benötigtes Geld im Durchschnitt:
1/2 + 1/4*2 + 1/8*4 + 1/16*8 + ....... =
=1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2.......
=unendlich

hmm ob das wohl richtig ist. keine ahnung^^

 

[moepehl]

Yo, dann wäre es so wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Sankt-Petersburg-Paradoxon. Macht ja auch Sinn, und die Wahrscheinlichkeit (0.5^n) ist in diesem Fall genau die selbe. Trotzdem komisch

 

[Brusko651]

mmh interessanter artikel, danke für den link

edit: jo, komisch ist es schon irgendwie, dass unendlich rauskommt.

edit: hmm wenn man in der n-ten Runde nicht 2^n € setzen würde, sondern immer einfach 1 euro, dann würde als Erwartungswert glaube ich 2 rauskommen:
1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + ...
= 2
(dann wäre der zu erwartende Gewinn aber natürlich auch nicht mehr 1€ sondern irgendwas, 0 oder so.)

das entspricht auch der Tatsache, dass man im Durchschnitt 2 Runden spielt, bis man gewinnt.

 

[moepehl]

Wenn du pro Runde immer nur 1€ setzen würdest, hättest du schnell Verlust.

Wenn du nach i Runden gewinnst, hast du -i€ investiert und bekommst 2€ zurück. Damit hast du einen Verlust von -(i-2)€!

Ich versuch gerade, das mit Zufallsvariablen aufzuschreiben, bekomms aber nicht hin :d

 

[Brusko651]

naja wenn ich ins kasino geh und immer wieder 1€ beim roulette setze, dann werde ich, falls es ein "faires roulette" mit 50% Gewinnchance ist (was es im echten Leben natürlich nicht gibt), im Durchschnitt mit gleich viel Geld heimkommen, wie ich vorher hatte, weil es ist ja gleich wahrscheinlich dass ich gewinne, wie dass ich verliere.

Also zur "Spielen-bis-ich-einmal-gewinne-Strategie":
Das Geld das ich gewinne ist 2€.
Das Geld, das ich einsetze ist im Durchschnitt auch 2€ (wie ich in meinem vorherigen post gezeigt habe).
Also Netto-Gewinn: 2€-2€=0

oder nochmal direkt ausgerechnet:
1/2 ist die Chance dass ich beim ersten mal gewinn, dann gewinn ich 1€
1/4 ist die Chance dass ich beim zweiten mal geiwnn, dann gewinn ich 0€ weil ich 2 € schon gesetzt habe.
1/8 ist die Chance dass ich beim dritten mal gewinn, dann hab ich -1€ gewonnen.
usw

1/2*1 + 1/4*0 + 1/8*(-1) + 1/16*(-2)......
= 1/2 + 0 - 1/8 - 2/16 - 3/32 ....
= 1/2 - 1/4 * (1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16....)
= 1/2 - 1/4 * 2 = 1/2 - 1/2 = 0

edit:
so lässt sich auch ein bisschen der Erwartungswert von unendlich bei der anderen Strategie erklären.
Es ist ein faires roulette, also müsste man bei einem endlichen Einsatz immer einen Erwartungswert von 0€ Gewinn haben.
Der Erwartungswert ist hier aber 1€, da müsste man schon unendlich viel Geld setzen, um sich so einen unfairen Vorteil erspielen zu können.
hmm. naja.

 

[moepehl]

Ok, das leuchtet mir ein. Die Strategie kam mir so komisch vor, irgendwie dachte ich, dass man mehr verliert als wenn man eine faire Münze wirft und bei jedem Kopf 1€ zahlt und bei jeder Zahl 1€ bekommt. Dabei ist es genau das selbe Spiel Somit ist der Erwartungswert auch 0. lulz jetzt geh ich aber mal pennen

Ein letzter Edit: Mein oben nach der geometrischen Verteilung berechneter Erwartungswert gibt die mittlere Anzahl der Spiele an, bis ich (das erste Mal) gewinne. Um den erwarteten Gewinn von 1 in einem fairen Spiel (mit Erwartungswert 0) zu erhalten, benötigt man daher unendlich viel Geld.

 

[Brusko651]

Wobei, ganz selbstverstädnlich ist es eh nicht.
Ich frag mich, ob der Erwartungswert für den Gewinn auch noch 0 wäre, wenn man nicht so lange spielt bis man 1mal gewonnen hat, sondern so lange bis man 2mal hintereinander verliert.
Weil dann hört man ja quasi zu einem Zeitpunkt zu spielen auf, wo man gerade unwahrscheinlich oft hintereinander verloren hat.

edit: andererseits, wenn da weniger als 0 rauskommen würde, dann würde bei der strategie "so lange spielen bis man 2mal hintereinander gewinnt" wahrscheinlich auch entsprechend mehr als 0 rauskommen, und dann würde ja jeder auf die Art die Kasinos abziehen.

 

[Muthombo]

Der Erwartungswert ist immer 0, egal wie oft man wieviel einsetzt, man kann nur die Varianz beeinflussen.

Edit: Mein Fehler. Der Erwartungswert ist immer 0, wenn das Spiel auf eine endliche Anzahl von Münzwürfen begrenzt ist. Wenn man aber solange spielt, bis man einmal verloren hat, ist der EV natürlich -1, weil es ja derselbe Fall wie oben ist nur mit vertauschten Rollen. Wenn man solange spielt bis man zweimal in Folge verloren hat wird er wohl noch negativer sein.

 

[Brusko651]

ok das ist gut

hier ist übrigens meine Strategie fürs Roulette, mit der ich dauernd gewinn:

Spoiler

bei dem casino in meiner stadt kriegt man beim Eintritt für 23€ "Eingangsjetons" im Wert von 25€.
Die darf man aber nicht direkt wieder in Bargeld umtauschen, sondern muss sie verspielen.
Ich setze also 5-mal hintereinander 5€ beim Roulette-Tisch.
Danach hab ich im Durchschnitt 25€ * 36/37 = 24,3243€

Die tausch ich dann ein und hab somit 1-2€ Gewinn gemacht im Durchschnitt

Ich komm mir jedes mal ziemlich gerissen vor wenn ich auf die Art das Kasino besiege.

 

[moepehl]

Der Erwartungswert ist immer 0, egal wie oft man wieviel einsetzt, man kann nur die Varianz beeinflussen.

Was heisst das für mein ursprüngliches Beispiel? Ist der erwartete Gewinn nicht 1, sofern man unendlich Geld zur Verfügung hat?

 

[Muthombo]

Ich hatte mich vertan, habs mal reineditiert:
Der Erwartungswert ist immer 0, wenn das Spiel auf eine endliche Anzahl von Münzwürfen begrenzt ist. Wenn man aber solange spielt, bis man einmal verloren hat, ist der EV natürlich -1, weil es ja derselbe Fall wie oben ist nur mit vertauschten Rollen. Wenn man solange spielt bis man zweimal in Folge verloren hat wird er wohl noch negativer sein.

 

[Brusko651]

Ich hatte mich vertan, habs mal reineditiert:
Der Erwartungswert ist immer 0, wenn das Spiel auf eine endliche Anzahl von Münzwürfen begrenzt ist. Wenn man aber solange spielt, bis man einmal verloren hat, ist der EV natürlich -1, weil es ja derselbe Fall wie oben ist nur mit vertauschten Rollen. Wenn man solange spielt bis man zweimal in Folge verloren hat wird er wohl noch negativer sein.

welchen Erwartungswert meinst du hier jetzt? Den erwarteten Gewinn (abzüglich des Einsatzes oder nicht?), oder den erwarteten Einsatz?

Und meinst du, wenn man seinen Einsatz ständig verdoppelt oder wenn man immer gleich viel setzt?

Ich glaube, wenn man immer gleich viel setzt, dann wird der Erwartungswert tatsächlich immer 0 sein.

edit: wobei, einfaches Gegenbeispiel:
Ich setze immer 1€ bis ich einmal mehr gewonnen habe, als ich verloren habe.
Der zu erwartende Gewinn ist dann natürlich 1€.
Das zu erwartende benötigte Kapital vermutlich wieder unendlich.

 

[Muthombo]

Unter Erwartungswert einer Strategie verstehe ich den statistisch zu erwartenden Netto-Gewinn, also die Summe aller Gewinne abzüglich der Summe aller Einsätze, gemittelt über unendliche Wiederholung.

 

[Brusko651]

achso ok

 

[xornado]

Heyho,
ich glaube dass der kumulierte Einsatz betrachtet werden sollte, oder?
in jeder Runde fragt man sich, ob der bisher akkumulierte Einsatz nun ausreicht.

Also in Runde 1: Einsatz bisher: 1 Euro, P=0.5
R2: Einsatz bisher 1+2, P=0.5*0.5
R3: Einsatz bisher 1+2+4....

einsatz in Runde i= 2^i - 1
Somit rechnet ihr
Erwateter Einsatz = sum(i=1,infty) p(1-p)^(i-1)*(2^i -1 )
Erwateter Gewinn = sum(1,inf) p(1-p)^(i-1) * (2^i - [2^i-1]] = sum(1,infty)p(1-p)^(i-1).

für p=0.5 erhält man demnach Erwarteter Einsatz unendlich,
erwarteter gewinn = 1.

 

[xornado]

lol. verrechnet.

 

[Muthombo]

Bei Bruskos Beispiel (konstanter Einsatz von 1€, 50% Gewinnchance, unendliches Kapital, Abbruch bei Netto-Gewinn 1€) ist der Erwartungswert deshalb 1€, weil die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass man den Netto-Gewinn von 1€ auch erreicht. Das folgt aus der Theorie des 1D Random Walks:

A simple random walk on Z will cross every point an infinite number of times.

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#One-dimensional_random_walk

 

[xornado]

Klar, macht sinn. Ich habe mich bei der Berechnung der anzahl an siegpermutationen verrechnet. lol.

 

[xornado]

Bei Bruskos Beispiel (konstanter Einsatz von 1€, 50% Gewinnchance, unendliches Kapital, Abbruch bei Netto-Gewinn 1€) ist der Erwartungswert deshalb 1€, weil die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass man den Netto-Gewinn von 1€ auch erreicht.

Und was ist dann mit der Bedingung Nettogewinn=2 ?

 

[Muthombo]

"A simple random walk on Z will cross every point an infinite number of times."

Das schließt auch 2€ und 10000000€ mit ein.

 

[Brusko651]

hi xornado,

erstmal, der erwartete Gewinn ist deswegen 1, weil, wenn du einmal öfter gewinnst als du verlierst, dann hast du 1€ Gewinn gemacht


Zu deinem ausgerechneten Erwartungswert für den Einsatz:
Ich glaube nicht dass es tatsächlich für jedes ungerade n genau (n-1)/2 solcher Reihen gibt.

zB (7-1)/2 ist 3, du hast aber selbst 4 Reihen für n=7 angegeben.

Dabei hast du aber auch schon eine Möglichkeit übersehen:
00YY0YY.

Es sind also insgesamt 5 Möglichkeiten, mit 7 Spielen zu gewinnen.

Tatsächlich scheint die Anzahl an solchen Reihen mit größer werdendem n sehr schnell zu steigen, und dadurch dürfte die entsprechende Mittelwert-ausrechne-Reihe dann auch divergent werden.

edit: achso, hat sich wohl schon geklärt.

 

[xornado]

Hihi Brusko, genau hab mich da hart verrechnet. natürlich zieht das random walk argument, lol. hab ich mal bisschen geschlafen

 

[Brusko651]

Würd mich interessieren wie man da wirklich die Anzahl von diesen Permutationen ausrechnet. (und somit dann die mittlere Anzahl gespielter Spiele)
Ich hab da nämlich heute auch schon rumüberlegt und bin nicht so richtig auf etwas gekommen.
muss aber auch eigentlich für ne prüfung lernen, deswegen hab ich eigentlich garnicht viel zeit für sowas :P

 

[xornado]

"A simple random walk on Z will cross every point an infinite number of times."

Das schließt auch 2€ und 10000000€ mit ein.

Stimmt, da habe ich wirkilch nicht lang überlegt