zornsches Lemma

[Brusko651]

hi,

Ich versteh das nicht.
also das Zornsche Lemma besagt ja
"Jede nichtleere geordnete Menge, in der totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, hat mindestens ein maximales Element."

Aber wenn ich zB das offene Intervall (0,1) als Menge nehme, dann hat jede Teilmenge davon eine obere Schranke (zum Beispiel die Zahl 2) und trotzdem hat das Intervall kein Maximum.

Was hab ich da falsch verstanden?

 

[narc]

Bin mir jetzt nicht sicher, aber muss die obere Schranke nicht in der Menge (0,1) in deinem Beispiel liegen. Und das ist halt nicht immer der Fall.

 

[Brusko651]

oh das könnte sein, dass das so gemeint ist

 

[Ancient]

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=26665

 

[Brusko651]

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=26665

wie sie ihn einfach alle Gregor nennen

Ok, also das Lemma ist mir jetzt klar, danke narc und Ancient !

 

[Brusko651]

Brusko folgert pro mäßig das Zornsche Lemma aus dem Hausdorffschen Maximalketten-theorem:

Hausdorffsches Maximalketten-theorem: Sei (X,<) eine geordnete Menge.
Dann gibt es eine Maximale Kette in X (eine bezüglich der Mengeninklusion maximale und bezüglich < totalgeordnete Menge).

Beweis Zorn'Sches Lemma:
Sei (X,<) eine geordnete Menge und jede Kette in X besitze eine obere Schranke in X.
Sei K eine maximale Kette in X.
Dann besitzt auch K eine obere Schranke in X. Ich nenne diese obere Schranke a. Für alle x€K gilt x <= a.
Die Menge K vereinigt mit der oberen Schranke a ist also auch wieder eine totalgeordnete Menge, denn a ist ja mit jedem Element von K vergleichbar.
Also muss a€K sein, denn sonst wäre K ja nicht bezüglich der Mengeninklusion maximal.
Angenommen es gäbe ein Element b das echt größer als a ist. Dann müsste auch b in K sein, damit K maximal ist. Dann wäre a aber wiederum keine obere Schranke von K, Widerspruch. Also ist a maximales Element
:}
hm naja ungefähr so lolol

 

[Ancient]

wo ist eigentlich der unterschied zwischen dem größten und dem maximalen element einer teilmenge von R?
als ich nen beweis vom lemma von zorn überflogen habe wurde das strikt unterschieden.

 

[Brusko651]

ui, das is etwas schwer zu erklären, die beiden Begriffe verwechseln nämlich viele Leute:

größtes Element=Maximum:
m heißt Maximum von M wenn für alle x€M x<=m

maximales Element:
m heißt maximales Element von M wenn für alle x€M aus x>=m folgt dass x=m.
In anderen Worten: m heißt Maximum von M wenn es kein Element von M gibt, das größer ist als m.


Auf den ersten Blick sehen die beiden Begriffe wahrscheinlich äquivalent aus. Sie sind auch tatsächlich gleichbedeutend, wenn M eine totalgeordnete Menge ist (also wenn für je 2 Elemente a,b immer entweder a<=b oder b<=a gilt) Das ist zB der Fall bei den ganzen Zahlen, oder bei den Reellen Zahlen. Da ist maximales Element und Maximum dann dasselbe.

Es gibt aber auch "halbgeordnete" Mengen. Da gibt es eine Ordnungsrelation auf der Menge aber es kann trotzdem vorkommen, dass Elemente aus der Menge nicht vergleichbar sind also dass weder a<=b noch b<=a gilt.
In dem Fall sind die beiden Begriffe dann doch nicht ganz gleichbedeutend.

Beispiel:
Wir definieren auf der Menge {2,3,4,5,6......} eine neue Ordnungsrelation folgendermaßen:
a<b gilt genau dann wenn a ein Teiler von b ist.
das heißt, zB 2<4
aber nicht 3<5 weil 3 teilt 5 nicht. auch nicht 5<3, also ist die Menge keine totalgeordnete Menge mit dieser Ordnung.
Bei dieser geordneten Menge gibt es zB kein Minimum weil es gibt keine Zahl, die jede Zahl teilt.
Es gibt auch kein Maximum weil es gibt keine Zahl, die durch jede Zahl teilbar ist.
Es gibt aber unendlich viele minimale Elemente: Die Primzahlen. Weil es gibt keine andere Zahl in der Menge, die eine Primzahl teilt.
Maximale Elemente gibt es auch nicht weil jede Zahl ist Teiler von irgendwelchen anderen Zahlen.

 

[Ancient]

danke dir.
ein weiteres gutes beispiel wär vielleicht eine menge komplexer zahlen, deren imaginärteil 0 sein darf.

 

[Brusko651]

Jo ich glaub ich weiß wie du meinst.
zB {1, 5, 0, -4, i, 5+2i, 2+2i, 3+i, 7, 2+i}

Hier ist wenn man die normale Ordnung der reellen Zahlen weiterverwendet
-4 < 0 < 1 < 5 < 7
Also ist -4 minimales Element und 7 ist maximales Element.

Und man könnte natürlich auch noch als Erweiterung der Ordnung dazu definieren:
i < 2+i < 3+i
und 2+2i < 5+2i
Dann wären auch i und 2+2i minimale Elemente und 3+i, 5+2i maximale Elemente.