Hallo Gemeinde!
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Moin, ich brauche mal irgend einen Tipp bei dieser Aufgabe hier, möglichst nur einen Hinweis und nicht die komplette Lösung.
Hier die Ergebnisse meiner bisherigen Überlegungen:
So, nun muss ich mir ja im Prinzip überlegen ob es ein n_0 gibt (also Anzahl der Zeilen der Matrix), sodass für alle n größer gleich n_0 gilt: phi(v)=M*lambda=0 => v=0. Ne Idee?
Problem für mich ist auch dass ich nichts über die Basisvektoren von W weiß außer dass sie linear unabhängig sind, theoretisch könnten deren ersten n Einträge alle null und somit M=0 sein..
Beachte: W ist Teilmenge von V. V ist der Vektorraum der unendlichen Tupel/Folgen von Elementen aus K. Deine Basis B ist aber endlich und somit kein Element von W und kein Element von V.
Wie muss eine Basis von W stattdessen aussehen?
Die Äquivalenz von Injektivität und Trivialität des Kerns von phi auszunutzen, ist eine gute Idee.
Aber du machst es dir in meinen Augen unnötig kompliziert.
Du hast V und W wie oben gegeben. Welche Wahl für n_0 bietet sich an?
Hast du n_0 einmal gewählt, kannst du die geforderte Eigenschaft für alle n>=n_0 mit vollständiger Induktion zeigen.
Beachte: W ist Teilmenge von V. V ist der Vektorraum der unendlichen Tupel/Folgen von Elementen aus K. Deine Basis B ist aber endlich und somit kein Element von W und kein Element von V.
Wie bitte? W ist nach Aufgabenstellung endlich erzeugt, jede Basis von W besitzt also m € N Vektoren. Jeder dieser Vektoren hat selbst aber wieder unendlich viele Einträge.
Desweiteren muss meine Basis nicht Element des Vektorraums sein, sondern nur Teilmenge, und genau das ist sie auch.
vielleicht hilft dir mein tipp, ich hab das beispiel selbst nicht ganz durchgedacht, aber so dürfte das ungefähr gehen:
angenommen W ist 5-dimensional (nur als anschauliches beispiel)
dann ist jedes x€W eindeutig darstellbar als
x = l1 * (a1,a2,a3,a4.....) + l2 * (b1,b2,b3,b4....) + ... + l5 * (e1,e2,e3,e4....)
(wobei (a1,a2,a3...) und die anderen 4 vektoren eine basis von W sind)
nun ist Phi_n (x) = l1 * (a1,a2,....,an) + l2 * (b1,b2,...,bn) + ... + l5 * (e1,e2,...,en)
wenn Phi_n injektiv ist, dann ist das gleichbedeutend mit: Für unterschiedliche (l1,l2,l3,l4,l5) und (l*1,l*2,l*3,l*4,l*5) müssen immer auch unterschiedliche vektoren des K^n für Phi_n(x) herauskommen .
Also: Die fünf Vektoren (a1,a2,....,an), (b1,b2,...,bn), ..... , (e1,e2....,en)
müssen linear unabhängig sein.
Es ist also nur mehr zu zeigen, dass ab einem ausreichend großen n diese 5 vektoren immer linear unabhängig sind.
(hier könnte man sich fragen: was wäre wenn für alle n€N die 5 vektoren (a1,a2,....,an),...,(e1,e2,....,en) linear abhängig wären? Ist es dann überhaupt möglich, dass die dazugehörigen unendlichen vektoren eine basis von W bilden?)
Wie bitte? W ist nach Aufgabenstellung endlich erzeugt, jede Basis von W besitzt also m € N Vektoren. Jeder dieser Vektoren hat selbst aber wieder unendlich viele Einträge.
Desweiteren muss meine Basis nicht Element des Vektorraums sein, sondern nur Teilmenge, und genau das ist sie auch.
Ähem... Entschuldige bitte, da hab ich nicht richtig hingeschaut, du hast natürlich recht.
Streiche also den ersten Absatz meines Beitrags.
Dann nur noch zwei kleine Hinweise:
In deiner Notation ist die Basis eine Familie, keine Teilmenge von Vektoren, weil du normale statt geschweifter Klammern benutzt.
In deinem ersten Beitrag steht "Andererseits: ...". In dieser Zeile ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen.
[edit]
Den Rest deines Beweises seh ich mir später an.
Dann nur noch ein kleiner Hinweis: In deiner Notation ist die Basis eine Familie, keine Teilmenge von Vektoren, weil du normale statt geschweifter Klammern benutzt.
Ich glaube aus "E_n0_im linear unabhängig" würde nicht folgen dass
der n0-te Eintrag von x nur dann 0 ist wenn alle lambda_j = 0 sind,
sondern dass DIE ERSTEN n0 Einträge nur dann alle 0 sind wenn alle lambda_j = 0 sind.
Ein Beispiel:
(1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) sind linear unabhängig im R^3
das bedeutet
l1 * (1,1,0) + l2 * (1,0,1) + l3 * (0,1,1) = (0,0,0)
gilt nur wenn l1=l2=l3=0
aber:
ein einzelner Eintrag von l1 * (1,1,0) + l2 * (1,0,1) + l3 * (0,1,1) kann durchaus auch 0 sein, wenn nicht alle Koordinaten 0 sind.
z.B:
1 * (1,1,0) + 1 * (1,0,1) -1 * (0,1,1) = (2,0,0).
Du siehst, hier ist der dritte Eintrag zum Beispiel 0 obwohl die Koordinaten nicht 0,0,0 sind sondern 1,1,-1.
Ansonsten ist mir als Schwachstelle deines Beweises noch die Stelle aufgefallen:
"Wegen B Basis von W muss es aber ein n0€N geben sodass ... , gäbe es n0 mit dieser Eigenschaft so wären die Elemente von B linear abhängig..."
Das ist zwar einleuchtend, aber man müsste es vielleicht irgendwie beweisen. Ich weiß aber nicht wie.
Ich glaube aus "E_n0_im linear unabhängig" würde nicht folgen dass
der n0-te Eintrag von x nur dann 0 ist wenn alle lambda_j = 0 sind,
sondern dass DIE ERSTEN n0 Einträge nur dann alle 0 sind wenn alle lambda_j = 0 sind.
Da W endlich erzeugt ist, unterscheiden sich die Elemente von W nur in endlich vielen Elementen. Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass dies die ersten m Elemente sind. Dann ist m die Dimension von W.
Bischen kompliziert das ganze für meinen Geschmack.
Bezeichne b die Abbildung phi.
Zu zeigen: b(w)=b(u) --> w = u für w, u aus W.
Dazu zeige man, dass b linear ist und wähle eine Basis b1,...,bm von W.
Dann ist b(w)=b(u) für w,u aus W g.d.w. summe i = 1 bis m (ci-di)b(bi) = 0.
Sind die b(bi) l.u. folgt ci = di für alle i und damit w = u.
Soweit der einfache Teil ... wie man die lineare Unabhängigkeit sauber zeigt schaffe ich schon seit heut morgen nicht. Deine Stelle diesbezüglich ist mir nicht sauber genug.
Der Vektor (1,1,1,....) erzeugt einen Unterraum, {(1,1,...)} ist l.u., also lin{(1,1,...)} Unterraum mit {(1,1,...)} als Basis und die Vektoren (1,1,...) und (0,5,0,5,...) liegen beide dadrinnen und unterscheiden sich an unendlich vielen Stellen.
Hmm, zur genaueren Begründung: Wenn es kein n_0 gäbe sodass die auf n_0 Einträge verkürzten Basisvektoren von W l.u. sind, dann ist jedes System der auf ein beliebiges n€N Einträge verkürzten Basisvektoren von W linear abhängig. Also ist ist auch das System der auf (n+1) Einträge verkürzten Basisvektoren l.a. (da sonst n_0 existieren würde mit n_0=n+1). Das gleiche gilt für (n+1+1) da sonst n_0=n+1+1 und so weiter.
Jetzt müsste man "nur" noch zeigen dass das wegen W endlich erzeugt ein Widerspruch ist.
Hmm, deine Widerspruchsannahme ist doch es gibt kein n0 so dass für alle n größer gleich n0 gilt usw etc.
Also: Ang., es gebe kein n0 so dass für alle n größer gleich n0 bn(bi), i = 1, ..., m l.u. sind. Dann gibt es also zu jedem k aus N ein l > k aus N so dass die auf die ersten l Einträge verkürzten Basisvektoren von W linear abhängig sind. (Nicht so wie du es geschrieben hast, es kann ja zunäcbst - falls nicht anders bewiesen - n geben, für die die Verkürzungen l.u. sind, aber es kann eben nicht für alle n größer n0 gelten)
Daraus folgt aber eben leider nicht die lineare Abhängigkeit der Basisvektoren aus B, da ja nur Aussagen über endliche Vektoren getroffen werden.
Und wenn die Vektoren mit n Einträgen l.a. sind, muss das nicht gelten für die mit n + 1.
Z.B. (1), (1) sind linear abhängig, aber (1,1), (1,0) sind linear unabhängig.
aber n+1 wäre dann doch das gesuchte n_0, das es nach Annahme (für den Widerspruch) nicht gibt.
trotzdem sagt das nur etwas über vektoren mit endlich vielen einträgen aus, wie du bereits sagtest...
Ok, wenn die bN(bi) eine nichttriviale Nulldarstellung haben, dann gilt das auch für alle n kleiner N. Diese sind dann auch linear abhängig. Im Umkehrschluss: wenn die bN(bi) l.u. sind, dann gilt das auch für alle n größer N.
Damit ist deine Aussage dann in der Tat wahr.
Hilft aber nicht weiter:
Ang., es gebe kein n0 so dass für alle n größer gleich n0 bn(bi), i = 1, ..., m l.u. sind. Dann muss für alle n aus N bn(bi), i = 1, ..., m l.a. sein.
Es bleibt trotzdem jeweils eine Aussage über endliche Vektoren, nicht über den unendlichen Vektor/die Folge.
Aber gut, es reicht immerhin schon mal ein N zu finden, für die bn(bi) l.u. sind. Das gilt dann auch für alle n größer N, womit auch b für alle n größer N injektiv ist.
Hmm, zur genaueren Begründung: Wenn es kein n_0 gäbe sodass die auf n_0 Einträge verkürzten Basisvektoren von W l.u. sind, dann ist jedes System der auf ein beliebiges n€N Einträge verkürzten Basisvektoren von W linear abhängig. Also ist ist auch das System der auf (n+1) Einträge verkürzten Basisvektoren l.a. (da sonst n_0 existieren würde mit n_0=n+1). Das gleiche gilt für (n+1+1) da sonst n_0=n+1+1 und so weiter.
Jetzt müsste man "nur" noch zeigen dass das wegen W endlich erzeugt ein Widerspruch ist.
Ich verstehe nicht was du hier meinst.
Wenn für jedes n das auf n Einträge verkürzte System l.a. ist, dann ist es doch eh klar dass das System auch für (n+1) und für (n+2) l.a. ist... das steckt doch schon drinnen in "für jedes n" (oder "ein beliebiges n€N").
Das Problem ist meiner Meinung nach:
Wenn für jede natürliche Zahl n die Vektoren (a1,a2,...,an) und (b1,b2,..,bn) linear abhängig sind, sind dann automatisch auch die unendlichen Vektoren (a1,a2,......) und (b1,b2,....) linear abhängig?
Immerhin ist unendlich keine natürliche Zahl.
Der Vektor (1,1,1,....) erzeugt einen Unterraum, {(1,1,...)} ist l.u., also lin{(1,1,...)} Unterraum mit {(1,1,...)} als Basis und die Vektoren (1,1,...) und (0,5,0,5,...) liegen beide dadrinnen und unterscheiden sich an unendlich vielen Stellen.
Herrje, was murks ich hier rum. Sollte nicht mehr vor dem Schlafengehen posten...
Du hast natürlich recht, dass die Aussage falsch ist. Ich denke, dass man trotzdem einen einfachen Induktionsbeweis führen kann, weil die Komponenten nach der n_0-ten für die Injektivität nicht relevant sind, wenn sich schon die vorherigen unterscheiden. Nur die Argumentation muss dann etwas präziser sein.
Vielleicht überleg ich mir das morgen mal, eh ich hier für noch mehr Verwirrung sorge.
Diese Basis {a,b} von einem 2-dimensionalen W besteht z.B. nur aus 2 Vektoren, ist aber trotzdem erst in der achten und neunten Stelle linear unabhängig. Also n0 ist 9.
Und vorne könnten natürlich noch beliebig viele 0 oder so dran sein, sodass n0 theoretisch riesig sein könnte.
Man kann also nur die Existenz von n0 zeigen, nicht irgendwie konstruktiv ein n0 in Abhängigkeit von dim W oder so bestimmen.
das ist ja auch gar nicht gefordert.
man kann zeigen dass ein n0 für dim W=0 existiert (nämlich n0=0 wegen W={0} und B={}).
wenn man jetzt noch zeigen könnte dass ein n0 für dim W=m+1 existiert, unter der Annahme dass ein n0 für dim W=m existiert, wäre man fertig.
Aber für dimW=0 könnte man jedenfalls 1 als n0 verwenden.
Dann ist Phi_1 (0,0,0,0....) = 0 injektiv, weil die Definitionsmenge ja nur ein Element enthält.
Für dimW=1 könnte man sich überlegen:
Eine Basis von W besteht aus genau einem Vektor a. Es muss ein n geben, sodass die n-te Stelle von a ungleich 0 ist, denn sonst wäre {a} nicht linear unabhängig und somit keine Basis.
Dieses n kann als n0 verwendet werden.
Für dimW=2 wirds schon schwieriger. Hier könnte man dann vielleicht irgendwie argumentieren dass es für eine Basis {a,b} 2 Stellen n und m geben muss sodass die beiden Vektoren ("n-te Stelle von a", "m-te Stelle von a")€K^2 und ("n-te Stelle von b","m-te Stelle von b") € K^2 linear unabhängig sind, weil die beiden Vektoren a,b sonst wieder linear abhängig wären, und max(m,n) kann dann wieder als n0 verwendet werden.
Insgesamt fand ich eigentlich das Argument aus deinem gestern-15:00Uhr-post vom Konzept her noch immer am besten, man müsste es halt nur irgendwie genauer begründen können, warum die Vektoren auf jeden Fall l.a. wären, wenn für alle n die ersten n Stellen l.a. wären.
Für dim W=1 oder 2 brauchst du es bei vollständiger Induktion über dim W ja nicht zu zeigen. Wir wissen es gibt ein n_0 für dim W = 0. Ich bin mir sicher dass man relativ einfach zeigen kann, dass es ein n_0 für dim W = m+1 gibt wenn wir als Induktionsannahme nehmen dass ein n_0 für dim W=m existiert.
Naja ich kann mir nicht vorstellen wie so ein Induktionsschritt aussehen würde.
Wie willst du zB aus der Existenz eines n0 für dimW=0 auf die Existenz eines n0 für dimW=1 schließen?
hier der Versuch eines Beweises, ich bin aber selbst nicht 100% davon überzeugt
wir wollen zeigen, dass es ein n0 gibt, sodass kern(Phi_n0)={(0,0,0,...)}
für alle n gilt:
kern(Phi_n+1) ist eine Teilmenge von kern(Phi_n).
Begründung:
Sei x € kern(Phi_n+1).
Also Phi_n+1(x) = (0,0,0....,0).
Also sind die ersten n+1 EInträge von x 0.
Also sind die ersten n Einträge von x 0,
Also x€Phi_n
Angenommen für alle natürlichen Zahlen n ist kern(Phi_n) != {(0,0,.....)}
Dann muss es ein x geben das ungleich (0,0,.....) ist, sodass für alle n x€kern(Phi_n) ist. (hier liegt glaub ich mein logischer Fehler)
=> Für alle natürlichen Zahlen n sind also die ersten n Einträge von x 0.
Es gibt also kein n, sodass der n-te Eintrag von x ungleich 0 ist, also ist x der Nullvektor.
Widerspruch dazu dass x nicht der Nullvektor ist.
Also gibt es ein n0, sodass kern(Phi_n0)={(0,0,0,....)}
____________________________________
Wie gesagt, ich bin nicht ganz überzeugt.
Was wäre z.B. mit der Menge
{
(1,0,0,0,0,0,0......),
(0,1,0,0,0,0,0......),
(0,0,1,0,0,0,0......),
(0,0,0,1,0,0,0......),
...}
Hier gäbe es tatsächlich für jedes n ein x!=(0,0,.....), wo die ersten n Stellen ungleich 0 sind.
Und trotzdem kann man kein x angeben, wo für alle n die ersten n Einträge 0 wären.
Ist wohl eine Art Unendlichkeits-paradoxon.
sehr verwirrend die ganze Sache.
Hab auch mal drüber nachgedacht. Habs so gemacht wie du am Anfang.
Da ich n Latexunwissender bin, wird das jetzt sehr hässlich, aber haters gonna hate:
Identisch zu deiner Rechnung gilt:
Das verschiebt das Problem bekanntlich:
Gibt es also ein n0 element N für das die Basisvektoren von W eingeschränkt auf die ersten n0 komponenten lin. unabhängig ist, so ist auch die Abbildung für n0 injektiv.
Gäbe es dieses n0 nicht, so wären die Basisvektoren lin. abhängig, da sie lin. abhängig für alle Einschränkungen mit n element N wären im Widerspruch zu ihrem Basis von W dasein.
Gäbe es dieses n0 nicht, so wären die Basisvektoren lin. abhängig, da sie lin. abhängig für alle Einschränkungen mit n element N wären im Widerspruch zu ihrem Basis von W dasein.
jo genau das ist halt die Frage, ob das wirklich im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der unendlichen Vektoren steht, wenn alle auf endlich viele Einträge eingeschränkten Vektoren linear abhängig sind.
Mir ist gestern abend noch ein stichhaltiger Beweis dafür eingefallen (beziehungsweise für die äquivalente Aussage dass es ein n0 gibt sodass kern(Phi_n0)={(0,0,...........)}.). Jetz muss ich aber bald auf die Uni gehn, ich poste den Beweis wenn ich wieder da bin.
Fall2:
Sei {b1,b2,...........,bm} eine Basis von W.
Zu zeigen ist, dass es ein n0€N gibt, sodass kern(Phi_n0)={(0,0..........)}
Hier im Spoiler demonstrier ich nochmal kurz dass das äquivalent ist zu "es gibt ein n0 sodass Phi_n0(b1),Phi_n0(b2),Phi_n0(b3).....Phi_n0(bm) linear unabhängig sind".
Kurzversion:
Phi_n0(b1),Phi_n0(b2),Phi_n0(b3).....Phi_n0(bm) linear unabhängig
<=>
Phi_n0 injektiv
<=>
kern(Phi_n0)={(0,0,..............)}
lange Version:
kern(Phi_n0)={(0,0,0,0,...)}
<=> Für alle x€W gilt "Phi_n(x)=(0,0,...,0) => x=(0,0,0,...)"
<=> Für alle l1,l2,l3....,lm € Kgilt Phi_n0(l1*b1 + l2*b2 + .... + lm*bm)=(0,0,...,0) => l1=l2=....=lm=0
<=> Für alle l1,l2,l3,....,lm € K gilt l1*Phi_n0(b1) + l2*Phi_n0(b2) + .... lm*Phi_n0(bm) = (0,0,0...) => l1=l2=l3....=lm=0
<=> Phi_n0(b1),Phi_n0(b2),Phi_n0(b3).....Phi_n0(bm) linear unabhängig
Ok jetzt zum Beweis:
Angenommen für alle n ist kern(Phi_n)!={(0,0,..)}
Sei x1€W ein beliebiges Element von W, das nicht der Nullvektor ist.
Das heißt, die Einträge von x1 sind nicht alle 0, also es gibt ein n1€N, sodass der n1-te Eintrag von x1 ungleich 0 ist.
Nun gibt es ein x2€kern(Phi_n1), das auch ungleich dem Nullvektor ist. Also gibt es ein n2, sodass x2 im n2-ten Eintrag ungleich 0 ist. Klarerweise n2>n1 weil die ersten n1 Einträge von x2 sind ja 0.
.
.
usw.
.
.
Es gibt ein xm€kern(Phi_n(m-1)), das ungleich 0 ist. Dieses ist in der nm-ten Stelle ungleich 0.
Es gibt ein x(m+1)€kern(Phi_nm), das ungleich dem Nullvektor ist. Es gibt ein n(m+1) sodass die n(m+1)-te Stelle von x(m+1) ungleich 0 ist.
Auf diese Weise haben wir (m+1) Vektoren aus W konstruiert, also x1,x2,x3,x4,x5,x6.........,xm,x(m+1)
Diese sind linear unabhängig:
Man betrachte die Gleichung:
l1*x1 + l2*x2 + ...... + lm*xm + l(m+1)*x(m+1) = (0,0,.................)
x1 ist in der n1-ten Stelle ungleich 0, alle anderen haben an der n1-ten Stelle eine 0. Es muss also l1=0 sein, damit an der n1-ten Stelle eine 0 sein kann.
Es gilt also:
l2*x2 + ...... + lm*xm + l(m+1)*x(m+1) = (0,0,.................)
l2 ist an der n2-ten Stelle ungleich 0. Alle anderen Vektoren haben dort eine 0. Also l2=0.
usw.
=> l1=l2=l3...........=lm=l(m+1)=0
x1,x2,.....,xm,x(m+1) sind also m+1 linear unabhängige Vektoren in einem m-dimensionalen Vektorraum. Das ist nicht möglich, Widerspruch! (weil a+1 Linearkombinationen von a Vektoren sind immer l.a.)
Also ist die Annahme, es gäbe kein n sodass kern(Phi_n)={(0,0,0....)} ist falsch. Es gibt also ein n0, sodass kern(Phi_n0)={(0,0,0....)}
=> Phi_n0 ist injektiv, fertig.
Ok, ganz so stichfest ist mein Beweis vielleicht doch nicht, weil ich hab stellenweise nicht auf "....usw...." verzichten können
aber es ist hoffentlich klar, was ich meine.
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