Wechselwirkungsmatrix vollfaktorieller Versuchsplan 3^3

[d3kay]

Hallo gebildetes BW.de Volk,

hier mal eine etwas knifflige Frage zur Statistik. Für ein Paper, an dem ich schreibe, muss ich zwei Zielgrößen auf ihre quantitative Abhängigkeit von drei Faktoren hin untersuchen. Da ich bereits ziemlich sicher weiß, dass mindestens zwei der Faktoren keinen linearen Einfluss auf die Zielgrößen haben werden, brauche ich mindestens drei Faktorstufen. Nun hatte ich vor, die Effekte der Faktoren mittels vollfaktoriellen Versuchsplans zu untersuchen. Das ist auch soweit klar: 3^3 = 27 Versuchseinstellungen und dann jeweils die Ergebniswerte der beiden Zielgrößen getrennt nach Faktorstufen auswerten. Die Charakterisierung der direkten Effekte der drei Faktoren mittels der Ergebniswerte habe ich soweit (siehe unten). Nun habe ich aber das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie die Wechselwirkungsmatrix (AB, AC, BC, ABC) bei drei Faktorstufen aussieht. Die Fachliteratur erklärt auch immer nur Versuchspläne mit zwei Faktorstufen und verweist auf zwei, drei Bücher, die hier allesamt nicht verfügbar sind. Internet ist auch alles andere als hilfreich.

Hat jemand vielleicht ein Schema oder einen Link zu einem 3^3 Versuchsplan inklusive Wechselwirkungsmatrix? Alternativ nehme ich auch gern Alternativvorschläge, wie ich die Abhängigkeit der beiden Zielgrößen von den drei Faktoren inkl. Wechselwirkungen untersuchen kann. Ich bin mir nicht sicher, ob es Wechselwirkungen zwischen den drei Faktoren geben wird, aber da ich es nicht ausschließen kann, möchte ich ungern auf die WW-Analyse verzichten.

Grüße und vielen Dank

Edit: Ein kompletter 3^2 Plan würde mir auch erstmal helfen, da ich mir ggf. herleiten könnte, wie sich die WW-Matrix ergibt.

Test	A	B	C	R		A(-1)	A(0)	A(+1)	B(-1)	B(0)	B(+1)	C(-1)	C(0)	C(+1)
1	-1	-1	-1	Ergebnis 1		Ergebnis 1			Ergebnis 1			Ergebnis 1		
2	-1	-1	0	Ergebnis 2		Ergebnis 2			Ergebnis 2				Ergebnis 2	
3	-1	-1	1	Ergebnis 3		Ergebnis 3			Ergebnis 3					Ergebnis 3
4	-1	0	-1	Ergebnis 4		Ergebnis 4				Ergebnis 4		Ergebnis 4		
5	-1	0	0	Ergebnis 5		Ergebnis 5				Ergebnis 5			Ergebnis 5	
6	-1	0	1	Ergebnis 6		Ergebnis 6				Ergebnis 6				Ergebnis 6
7	-1	1	-1	Ergebnis 7		Ergebnis 7					Ergebnis 7	Ergebnis 7		
8	-1	1	0	Ergebnis 8		Ergebnis 8					Ergebnis 8		Ergebnis 8	
9	-1	1	1	Ergebnis 9		Ergebnis 9					Ergebnis 9			Ergebnis 9
10	0	-1	-1	Ergebnis 10			Ergebnis 10		Ergebnis 10			Ergebnis 10		
11	0	-1	0	Ergebnis 11			Ergebnis 11		Ergebnis 11				Ergebnis 11	
12	0	-1	1	Ergebnis 12			Ergebnis 12		Ergebnis 12					Ergebnis 12
13	0	0	-1	Ergebnis 13			Ergebnis 13			Ergebnis 13		Ergebnis 13		
14	0	0	0	Ergebnis 14			Ergebnis 14			Ergebnis 14			Ergebnis 14	
15	0	0	1	Ergebnis 15			Ergebnis 15			Ergebnis 15				Ergebnis 15
16	0	1	-1	Ergebnis 16			Ergebnis 16				Ergebnis 16	Ergebnis 16		
17	0	1	0	Ergebnis 17			Ergebnis 17				Ergebnis 17		Ergebnis 17	
18	0	1	1	Ergebnis 18			Ergebnis 18				Ergebnis 18			Ergebnis 18
19	1	-1	-1	Ergebnis 19				Ergebnis 19	Ergebnis 19			Ergebnis 19		
20	1	-1	0	Ergebnis 20				Ergebnis 20	Ergebnis 20				Ergebnis 20	
21	1	-1	1	Ergebnis 21				Ergebnis 21	Ergebnis 21					Ergebnis 21
22	1	0	-1	Ergebnis 22				Ergebnis 22		Ergebnis 22		Ergebnis 22		
23	1	0	0	Ergebnis 23				Ergebnis 23		Ergebnis 23			Ergebnis 23	
24	1	0	1	Ergebnis 24				Ergebnis 24		Ergebnis 24				Ergebnis 24
25	1	1	-1	Ergebnis 25				Ergebnis 25			Ergebnis 25	Ergebnis 25		
26	1	1	0	Ergebnis 26				Ergebnis 26			Ergebnis 26		Ergebnis 26	
27	1	1	1	Ergebnis 27				Ergebnis 27			Ergebnis 27			Ergebnis 27
						MW A(-1)	MW A(0)	MW A(+1)	MW B(-1)	MW B(0)	MW B(+1)	MW C(-1)	MW C(0)	MW C(+1)
Effekt A(-1)	Ergebnis 1-9
Effekt A(0)	Ergebnis 10-18
Effekt A(1)	Ergebnis 19-27
Effekt B(-1)	Ergebnis 1-3, 10-12, 19-21
etc.

 

[Amad3us]

Du bildest alle paarweisen Produkte von Spalten deiner bisherigen Matrix (A*B; B*C; A*C) und erhältst so eine Kodierung für die Interaktionen.
Für die 3-fach Interaktion bildest du schließlich das Produkt der Spalten A*B*C

 

[d3kay]

Joar, soweit war mir das auch klar. Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber mir erschließt sich die logische Multiplikation der drei Faktorstufen nicht. Also was ist -1*0, was 0*0 etc. Bei zwei Faktorstufen ist das einfach, da man das ja aus der Digitaltechnik kennt.

 

[BigBadWolf]

-1*0 = 0
0*0 = 0

o_O...wie Amadeus geschrieben hat, sind es einfach die Produkte.

Was ich mich viel eher frage, ist, warum du bei angenommenen nicht-linearen Einflüssen (nur) auf die Idee kommst, drei Stufen zu nehmen (gibt es Gründe zur Annahme, dass die Nichtlinearität in dem Bereich auftritt?) und dann Interaktionen zu kodieren.

Also keine Ahnung, was für ein konkretes Problem das ist, aber das Problem sieht mir doch schon arg kompliziert aus, um es auf diese Art und Weise zu modellieren.

 

[d3kay]

Zum Thema logische Verknüpfung. Ich bin mir deshalb nicht sicher, ob das stimmt, da ich bei der erwähnten Art der Verknüpfung für AB, AC und BC z.B. 6x "-1", 15x "0" und 6x "+1" hätte. Bei ABC wären es 4/19/4 (-1/0/+1). Ich ging aber davon aus, dass jedes der möglichen Ergebnisse gleich oft vorkommen muss, wie es eben bei zwei Faktorstufen ist. D.h. bei 3 Faktorstufen und 27 Kombinationen wären das dann 9/9/9. Ich bin mir auch noch nicht sicher, ob es statt der 3 nicht vielleicht sogar mehr (z.B. 6) logische Ergebnisse gibt. Immerhin haben wir 9 verschiedene Kombinationen, von denen dreimal je zwei kommutativ sind.

Zum zu untersuchenden System. Ich habe ein Messsystem mit digitaler Datenverabeitung. Die drei Faktoren sind Einstellungen auf der Hardwareseite, d.h. vor der Signalerfassung und -verarbeitung. Nun will ich quasi den Einfluss auf Höhe und Reproduzierbarkeit eines Parameters ermitteln. Drei Werte pro Faktor reichen mir, da ich damit den Mittelwert und je einen Wert an der oberen und unteren Grenze des in der Praxis verwendeten Bereichs des Faktors habe. Außerdem wähle ich die äußeren Werte im gleichen Abstand zu den Mittelwerten, um einschätzen zu können, ob die Kennlinien zu beiden Seiten gleich stark verlaufen. Zu jeder der 27 Einstellungskombis werde ich 10 Wiederholungen fahren, um Ausreißer zu minimieren und eben die Reproduzierbarkeit an der Stelle zu ermitteln. Auf die Frage hin, warum ich nicht mehr Stufen verwende die meistgehörte und immer wieder ernüchternde Antwort: für mehr reicht meine Messzeit bzw. tool time nicht und ich muss aber diese drei Faktoren charakterisieren. Hatte schon an einen teilfaktoriellen Plan gedacht, um mehr Faktorstufen reinbringen zu können, aber wenn’s an drei Stufen schon scheitert…

 

[Amad3us]

Wenn mich nicht alles täuscht, ist deine Hauptfaktorkodierung unvollständig:
Du brauchst pro Faktor (A,B,C) zwei! Spalten (nicht eine!).
Danach bildest du dann alle paarweisen Produkte von Spalten unterschiedlicher Faktoren wie oben von BBW beschrieben.

Du kriegst dann insgesamt:

1 Spalte für das Intercept
3*2 Spalten für Hauptfaktoren
3*2*2 Spalten für alle Zweierinteraktionen
2*2*2 Spalten für die Dreierinteraktion

und somit ingesamt eine Designmatrix mit 27 linear unabhängigen Spalten, also ein saturiertes Modell.
Aber was willst du mit einem saturierten Modell?

 

[d3kay]

Kannst Du das bitte mal beispielhaft darstellen? Ich kann Dir nicht folgen und die Literatur dazu ist auch nicht gerade erschöpfend. Ganz davon ab, dass die Termini scheinbar in verschiedenen Fachrichtungen auch noch unterschiedlich bezeichnet werden.

 

[BigBadWolf]

Amad3us hat beim zweiten Draufgucken natürlich vollkommen Recht - um drei Faktorstufen zu kodieren (z.B. high - medium - low) brauchst du zwei Spalten in der Designmatrix, nicht eine.

Je nach Kodierungsart - bei uns in der Psychologie sprechen wir von Dummy-, Effekt- oder Orthogonalkodierung - sieht die Designmatrix natürlich unterschiedlich aus.

Mal ganz simple Dummykodierung für ein einfaktorielles Design mit drei Faktorstufen (high - medium - low):

Gruppe   Intercept   med   low
h        1          0      0
m        1          1      0
l         1          0      1

oder Orthogonalkodierung (für linear unabhängige Spalten):

Gruppe   Intercept   med   low
h        1          1      1
m        1         -1     1
l         1          0     -2

Jetzt mal abgesehen vom Intercept brauchst du also zwei Variablen (Spalten in der Designmatrix), um drei Faktorstufen eines Faktors zu repräsentieren, das gleiche gilt natürlich auch für alle anderen Faktoren (und deren Faktorstufen).

 

[oensen]

Sorry, dass ich das Thema nach 7 Jahren ausgrabe? Aber ich stehe so ziemlich vor dem selben Problem...

Wäre folgende Wechselwirkungsmatrix denn korrekt?

 

[VoodooDog]

ja klar, alles gut.