Ein (wirklich schlauer!) potentieller Dieb kommt mit nur f¨unf Versuchen
aus.
Der Grund daf¨ur, dass man ¨uberhaupt mit weniger als neun Versuchen auskommen
kann, ist folgender: Peters urspr¨unglicher Zahlencode sei (A,B,C), wobei A,B,C jeweils
eine der Ziffern 1, 2 oder 3 sind. Stellt der Dieb nun einen Versuchscode (a, b, c)
ein und das Schloss ¨offnet sich, ist er gl¨ucklich. Wenn es sich aber nicht ¨offnet, so
kommen auf einen Schlag sieben (!!!) m¨ogliche Codes nicht mehr f¨ur (A,B,C) in
Frage, n¨amlich die Codes (a, b, x), (a, x, c) und (x, b, c), wobei x wieder eine beliebige
der drei Ziffern 1, 2 oder 3 ist. W¨are n¨amlich einer dieser Codes gleich (A,B,C),
so h¨atte der Code (a, b, c) mit Peters Zahlencode (A,B,C) wenigstens zwei Ziffern
gemeinsam, das defekte Schloss h¨atte sich also ¨offnen m¨ussen.
Wie viele M¨oglichkeiten hat Peter ¨uberhaupt f¨ur seinen Code (A,B,C)?
F¨ur jede der drei Stellen kommen genau drei verschiedene Werte in Frage, also gibt
es genau 3^3 = 27 M¨oglichkeiten.
Davon kann der Dieb mit nur einem Versuch genau sieben ausschließen!
Insbesondere kann er das Schloss mit drei Versuchen h¨ochstens zuf¨allig, aber nicht
sicher (und das war ja gefragt!) knacken, da er bis dahin h¨ochstens 3 ·7 = 21 Codes
als Peters Zahlencode ausschließen kann. Ist einer der ¨ubrigen 27 − 21 = 6 Codes
der richtige, so hat sich das Schloss nach den drei Versuchen noch nicht ge¨offnet.
Aber vier Versuche k¨onnten doch theoretisch reichen, oder?
Schließlich sind 4 · 7 = 28 Codes mehr, als es ¨uberhaupt gibt, also muss Peters Code
dabeigewesen sein, oder?
Nein, leider nicht. Zwar kann der Dieb mit jedem der vier Versuche sieben Codes
ausschließen, aber diese m¨ussen nicht alle verschieden sein (und sind es auch
nicht). W¨urde der Dieb zum Beispiel dummerweise viermal denselben Code versuchen,
w¨urde er trotzdem nur sieben und nicht 4 · 7 = 28 Codes ausschließen.
Folgendermaßen sieht man, dass es bei vier Versuchen mindestens zwei solche ¨Uberschneidungen
gibt, also wenigstens 27 − 28 + 2 = 1 m¨oglicher Peter-Code unausgeschlossen
bleibt:
F¨ur die erste Stelle a eines Codes (a, b, c) hat man drei M¨oglichkeiten. Unter vier
verschiedenen Codes C1, C2, C3 und C4 muss es also zwei geben, die die gleiche
erste Stelle haben. Sei also zum Beispiel C1 = (a, b, c) und C2 = (a, d, e). Dann sind
unter den jeweils sieben Codes, die C1 und C2 ausschließen, auch die beiden (a, d, c)
und (a, b, e), die von beiden ausgeschlossen werden – man hat also mindestens zwei
¨Uberschneidungen unter den durch vier Versuche ausgeschlossenen Codes, und es
werden insgesamt nicht mehr als 4 · 7 − 2 = 26 Peter-Codes ausgeschlossen. Mit
vier Versuchen ist man also auch nicht auf der sicheren Seite, denn es k¨onnte immer
noch einer der nicht ausgeschlossenen Codes der richtige sein; dann bliebe das
Schloss nach diesen vier Versuchen geschlossen!
Dass es schließlich mit f¨unf Versuchen sicher klappt, zeigt man zum Beispiel mit
folgender Tabelle:
Nr.; Code F¨ur den richtigen Code; dadurch ausgeschlossen:
1; (1, 1, 2); (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 2), (3, 1, 2)
2; (2, 2, 1); (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 1, 1), (2, 3, 1), (1, 2, 1), (3, 2, 1)
3; (3, 3, 2); (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 2, 2), (2, 3, 2)
4; (1, 3, 3); (1, 3, 1), (1, 3, 3), (1, 2, 3), (2, 3, 3)
5; (3, 1, 3); (3, 1, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 3), (2, 1, 3)
Oder was genau ist da "logisch"?
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