Trägheitsmoment im bezug auf den Drehimpuls

[Ozzieozz]

Ok, geht eigentlich um technische mechanik, aber physiker sind auch ok.

folgendes problem,
gegeben ist ein winkel L, dessen länge in x sowie y richtung a ist
(die breite kann als gegen 0 angenommen werden)

masse des körpers ist m.

dieses L rutscht nun mit der geschwindigkeit v auf einen kleinen stopper,
die frage ist nun wie schnell muss das ding sein um umzukippen.



L (vorstoß) = L (nachstoß)

m*v*a/4 = Teta * Omega (nach stoß)

[omega= winkelgeschwindigkeit, teta=trägheitsmoment)

wie komme ich mit den gegebenen werten auf teta?

teta = 2(m/2 * a²/3)
laut "musterlösung" - aber die formel dahinter verschliesst sich mir.

ohne teta krieg ich aber kein omega raus :/

 

[voelkerballtier]

ich verstehe deinen ansatz überhaupt nicht und ich weiß nicht was theta sein soll. Die Aufgabe würd ich einfach über Energien lösen.
Vor dem Aufprall hat das L die Energie E_vor = m/2 v² + m/2 * a/2 (kinetische + potentielle vom senkrechten Teil). Das Ding kippt um sobald es mehr als 45° kippt und offensichtlich ist genau das der Punkt mit maximaler potentieller Energie, nämlich 2 * m/2 * a/2 * sin 45° = m*a/(4*sqrt(2)). Das setzen wir kleiner gleich E_vor und stellen nach v um und erhalten die Bedingung für v:
v >= sqrt(a/2 * (1/sqrt(2) - 1))

 

[Ozzieozz]

der stab ist ja keine punktmasse, insofern müsste ich über die gesamte höhe a integrieren um ne potentielle energie zu kriegen,
gleichzeitig hab ich in dem punkt, wo der winkel auf den stopper trifft

eine translatorische bewegung so wie eine kinematische
(es dreht sich und bewegt sich)

dieser zusammenhang lässt sich normalerweise mit dem drehimpuls berechnen, aber ich steh da halt aufm schlauch -.-

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Ozzieozz
der stab ist ja keine punktmasse, insofern müsste ich über die gesamte höhe a integrieren um ne potentielle energie zu kriegen,
gleichzeitig hab ich in dem punkt, wo der winkel auf den stopper trifft

eine translatorische bewegung so wie eine kinematische
(es dreht sich und bewegt sich)

dieser zusammenhang lässt sich normalerweise mit dem drehimpuls berechnen, aber ich steh da halt aufm schlauch -.-

bei einem homogenen stab (davon ging ich aus weil du nichts dazu geschrieben hast) ist das integrieren aber trivial und führt genau zu dem von mir benutzten ergebnis für die potentielle energie.
Wie die Bewegung genau aussieht ist bei meinem Ansatz eben egal, das macht ihn ja so einfach. Ich rechne die Geschwindigkeit des Grenzfalles aus (das L ruht am ende auf der ecke) und sage dann, v muss höher sein damit das ding umkippt.

 

[Ozzieozz]

anscheinend gilt für theta = m*l²/3


somit wäre dann das ganze sytem m*a²/3 ; was in der musterlösung auch so steht.

die potentielle energie hilft mir hier relativ wenig,
weil sich, solange eine rein translatorische bewegung vorliegt,
die potentielle energie nicht ändert.

somit wäre pot0=pot1 kin0=kin1 ; dadurch hab ich nix gewonnen


das mit dem integrieren wär schon drin gewesen,
aber haben wir so nie gemacht, und is auch (bei translatorischen sachen) sinnlos

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Ozzieozz
da die breite des stabes gegen 0 geht gilt das leider auch für seine fläche - oder hab ich da was missverstanden?

und was hat das mit dem Problem zu tun, habe ich irgendwo ne Fläche benutzt bzw: Was willst du mir damit sagen?

Original geschrieben von Ozzieozz
anscheinend gilt für theta = m*l²/3

somit wäre dann das ganze sytem m*a²/3 ; was in der musterlösung auch so steht.

Was soll denn theta nun sein? weißt du denn überhaupt selbst was damit gemeint ist - ich weiß es zumindest nicht.

Original geschrieben von Ozzieozz

die potentielle energie hilft mir hier relativ wenig,
weil sich, solange eine rein translatorische bewegung vorliegt,
die potentielle energie nicht ändert.

somit wäre pot0=pot1 kin0=kin1 ; dadurch hab ich nix gewonnen

ich glaube du verstehst meinen ansatz nicht: das teil kommt angerutscht und hat kinetische+potentielle energie. es trifft auf den stopper und kippt genau so weit, dass es auf der spitze stehen bleibt (theoretisch). wenn es auf der spitze steht hat es keine kinetische energie mehr (es steht ja), sondern nur noch potentielle. pot0 + kin0 = pot1 und daraus folgt ein ausdruck für v, den ich oben schon geschrieben habe.

 

[Core]

Hab gerade erst Mechanik bestanden aber kann mir irgendwie unter der Aufgabenstellung nix vorstellen. Kannste nicht mal ne Skizze machen? Trägheitsmomente musst du doch nicht zwingend integrieren, die lassen sich doch i.d.R. durch zusammengesetzte einfache Fälle + Steiner-Anteil ermitteln.

 

[Ozzieozz]

http://img218.imageshack.us/img218/2485/tm2qj1.png

was wäre dein ergebnis für v?

ich komme damit auf V² = (8/3)*(wurzel(2) - 1)*g*a


nach deiner rechnung käme ich auf:

1/2 m v(1)² + m*g*a/2 = 1/2 m v(2) + m * g * a/2 ; als punktmasse angenommen (von mir aus an starren stäben verbunden)

durch v min => ekin1 = 0

dann is v = 2 m g a/2

v = m * g * a [kg*m²/s²] - das stimmt einfach nicht.


und ja: die musterlösung ist definitiv richtig.


ansatz bei uns war:

L(h) = L(h)*

m*v*a/4 = Theta * W (omega)

W = 3/4 * v/a ; (mit theta = m * a²/3)


erst jetzt kannst du mit

1/2 Theta w² = m*g*h

rechnen, da die kinetische energie einer reiner drehbewegung _nicht_ 1/2 m*v2 entspricht.

=> w² = 9/16 v²/a² => v=s.o.







ps: was ist theta?

Der Trägheitstensor Θ (Theta) hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung. Allerdings sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls im Allgemeinen nicht zueinander parallel.

 

[Core]

Jetzt mal ins Blaue geraten:

Das sind zwei miteinander verbundene Stäbe mit der Masse m/2, MTM für einen Stab ist ml²/12, in diesem Fall also pro Stab ma²/24. Dann suchste den gemeinsamen Schwerpunkt vom Gesamtsystem, hängst den Steiner-Anteil dran und dann sollte das gegebene MTM rauskommen.

Wobei ich mis jetzt unsicher bin ob das Ding um den Schwerpunkt kippt oder um den Berührungspunkt mit dem Hindernis. Ist halt so Kinematikzeug, war ich nie besonders gut drin. -_-

 

[Ozzieozz]

du hast schon ziemlich recht, nur dass es sich nicht um den schwerpunkt dreht - aber bin schon bisschen erstaunt wie du das so ausm ärmel schüttelst

 

[Core]

Naja hab ja auch 4 Wochen gelernt für Mechanik. Letztendlich gabs 70% Durchfallquote und ich hatte ne 3.0.

Trotzdem hab ich den Scheiss direkt in nen Ordner verpackt und ganz unten ins Regal gestellt.

Also wenn es nicht um den Schwerpunkt kippt, dann natürlich um die Verbindungsstelle der Stäbe, der Steiner-Anteil ist dann jeweils ma²/8

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Ozzieozz
http://img218.imageshack.us/img218/2485/tm2qj1.png

was wäre dein ergebnis für v?

ich komme damit auf V² = (8/3)*(wurzel(2) - 1)*g*a

ist das denn auch die musterlösung? ich habe nämlich einen anderen vorfaktor (s.u.)

Original geschrieben von Ozzieozz

nach deiner rechnung käme ich auf:

1/2 m v(1)² + m*g*a/2 = 1/2 m v(2) + m * g * a/2 ; als punktmasse angenommen (von mir aus an starren stäben verbunden)

durch v min => ekin1 = 0

dann is v = 2 m g a/2

v = m * g * a [kg*m²/s²] - das stimmt einfach nicht.

völlig falsch und ich frage mich gerade, ob du meinen ersten post vollständig gelesen hast, denn da steh sowohl der ansatz als auch ein ausdruck für v (leider habe ich einen rechenfehler gemacht). Hier nochmal ausführlich:

Zustand 1: L rutscht auf den Stopper zu (so: _| . )
kin Energie: m/2 * v²
pot Energie: m/2 * a/2 * g

Zustand 2: L _steht_ auf der Spitze (so: \/ )
kin Energie: 0
pot Energie: 2 * g * m/2 * a/2 * sin 45 = g * m * a * sqrt(2) / 4 (hier hatte ich oben einen faktor 2 zu viel)

rotationsenergie ist bei beiden Zuständen 0 (da nix rotiert)

Energieerhaltung: E1 = E2 liefert umgestellt nach v²:

v² = g * a/2 * (sqrt(2) - 1)

Original geschrieben von Ozzieozz

und ja: die musterlösung ist definitiv richtig.

möglicherweise habe ich ja einen denkfehler

€ AHHH ich glaube ich hab den unterschied in meiner betrachtung gefunden: bei mir wird die kinetische Energie vollständig in Rotations und dann in potentielle Energie umgewandelt, d.h. das L rutsch unter Umständen wieder zürück nach dem Stoß. Bei deiner Lösung nimmt scheinbar der Stopper einen Teil der Energie auf und dann muss man natürlich über den Drehimpuls rechnen. Da im Aufgabentext explizit ein plastischer Stoß verlangt wird, ist deine Lösung wohl richtiger - bei mir ist der Stoß teilweise plastisch und elastisch

bei deiner rechnung fehlt zwar noch irgendwie ein schritt (was ist h und wo kommt der faktor sqrt(2)-1 her?) aber prinzipiell konnte ich es nachvollziehen.

Bei Theta hatte ich an irgendeinen Winkel gedacht, daher mein unverständnis - entschuldige

 

[Core]

Naja, das über Energieerhaltung zu lösen ist schon recht suboptimal, Drallerhaltung macht da schon viel mehr Sinn. Ausserdem wollte er ja nur wissen wie man das Massenträgheitsmoment berechnet und das ist ja eigentlich nur Schema F.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Core
Naja, das über Energieerhaltung zu lösen ist schon recht suboptimal, Drallerhaltung macht da schon viel mehr Sinn.

Das kommt ganz auf die genaue Aufgabenstellung an - so wies in dem verlinkten Bild steht hast du völlig recht. Im Originalpost stand nichts zum genauen Stoßvorgang und da ist Energieerhaltung erstmal völlig legitim und halt sehr viel einfacher als mit den drehimpulsen anzufangen

 

[Ozzieozz]

das (sqrt2 -1) kommt daher, dass bei der schwerpunktbetrachtung,
der beiden einzelstäbe (m/2*a/2) ist, gekürzt mit beiden m damit liegt der schwerpunkt bei a/4 , a/4 um diesen schwerpunkt muss gedreht werden, also entsteht auch dieser drehwiederstand,
da der abstand zum schwerpunkt die länge des drehhebels angibt.

Wenn das L nun im V-winkel steht, dann ist der abstand eben im 45* winkel angegebn ; sin/cos (45°) bringt die wurzel 2 da mit rein imho.

falls du weisst was ich meine; es geht hierbei ja auch darum,
das ein teil der kin energie in eine drehbewegung umgesetzt wird,
sowie ein teil der potentiellen energie.

dein ansatz würde glaub ich funktionieren,
wenn es nicht darum ginge den winkel zu kippen,
sondern nur die auftreffgeschwindigkeit zu bestimmen.

e: die musterlösung is btw nur das ergebnis