stetig differenzierbar

[PerDitioN]

Hallo,
ich lese mir gerade "Analysis 1" von Otto Förster durch und habe ein Problem mit den folgenden beiden Sätzen:

"Die Funktion f: D->R heißt k-mal differenzierbar in D, wenn f in jedem Punkt x Element D k-mal differenzierbar ist. Sie heißt k-mal stetig differenzierbar in D, wenn überdies die k-te Ableitung f(k): D->R in D stetig ist."

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Stetigkeit der k-ten Ableitung doch Vorraussetzung dafür, dass die (k-1)te Ableitung differenzierbar ist. Von daher macht der 2. Satz wenig Sinn; oder habe ich da etwas grundlegend falsch verstanden?

 

[Asta Khan_inaktiv]

Original geschrieben von Sawadi.Kap
Hallo,
ich lese mir gerade "Analysis 1" von Otto Förster durch und habe ein Problem mit den folgenden beiden Sätzen:

"Die Funktion f: D->R heißt k-mal differenzierbar in D, wenn f in jedem Punkt x Element D k-mal differenzierbar ist. Sie heißt k-mal stetig differenzierbar in D, wenn überdies die k-te Ableitung f(k): D->R in D stetig ist."

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Stetigkeit der k-ten Ableitung doch Vorraussetzung dafür, dass die (k-1)te Ableitung differenzierbar ist. Von daher macht der 2. Satz wenig Sinn; oder habe ich da etwas grundlegend falsch verstanden?

Die Stetigkeit der k-ten Ableitung ist Vorraussetzung für die Existenz der k+1-ten Ableitung, also für die Differenzierbarkeit der k-ten Ableitung.
Eine Ableitung einer (zwangsweise stetigen) Funktion muss selber nicht wieder stetig sein, darum macht "stetig differenzierbar" schon Sinn.

 

[PerDitioN]

Kann eine Funktion denn überhaupt differenzierbar sein, wenn die Ableitung nicht stetig ist?

 

[killerchicken_inaktiv]

Klar, zB. die Funktion

ist überall differenzierbar, aber die Ableitung im Nullpunkt unstetig.

Gruß
Sebastian

 

[PerDitioN]

Ist die Ableitung von der Funktion nicht f'(x)=2x*cos(1/x)+sin(1/x) für x=!=0 ? Demnach strebt sie doch für x->0, x=!=0 genauso gegen 0, oder? Wieso ist sie dann im Nullpunkt nicht stetig?

Bitte keine Flames, falls ich falsch abgeleitet habe. Ich bin nur in der 10. Klasse und das alles habe ich bisher nur in Büchern gelesen.

edit: Ah, hat sich erledigt. Für x-->0 strebt der Sinus von 1/x ja gar nicht gegen 0 Also, danke für die Hilfe

 

[mfb]

f'(x)=2x*cos(1/x)+sin(1/x) ist richtig. Aber das geht für x-->0 nicht gegen 0:

2x*cos(1/x) geht gegen 0, wunderbar
sin(1/x) oszilliert zwischen -1 und 1 und geht nicht gegen 0. sin(x) ginge gegen 0, aber sin(1/x) ist eine ganz andere Funktion.

Edit: Sorry, den Edit übersehen.