steh grad auf dem schlauch: mathe

[Ancient]

p * b² = a² (a,b€N, p Primzahl)

=> p teilt a²
=> da p primzahl, teilt p auch a.

den letzten schritt kann ich nicht nachvollziehen.

€: geht um den beweis, dass alle zweiten wurzeln aus primzahlen irrational sind.

€2: ggT(a,b)=1

 

[MesH]

p | a^2 = a*a. Also muss p Teiler von einer Zahl des Produkts a*a sein, also p | a =)

 

[Ancient]

was du schreibst würde aber auch für eine nicht-primzahl gelten und folgendes gegenbeispiel ermöglichen:

4 teilt 6², aber nicht 6.

oder ich missverstehe dich. ^^

 

[MesH]

Hmm achso, es geht dir darum, dass p | a durch p prim folgt, und nicht um die generelle Tatsache, dass p | a. Sorry, Sekunde

Also: Wenn p | a*a, heißt das, dass p in der Primfaktorzerlegung von a*a vorkommt.
Wenn a prim wäre, wäre a = p und die Sache passt wohl.
Wenn a nicht-prim, gibt's ne Primfaktorzerlegung von a. Da p | a*a, muss p in der Primfaktorzerlegung von a vorkommen, ergo p | a

 

[Ancient]

hab übrigens noch ggT(a,b)=1 vergessen zu erwähnen.

 

[Ancient]

Original geschrieben von MesH
Da p | a*a, muss p in der Primfaktorzerlegung von a vorkommen, ergo p | a

und genau hier hakts bei mir.
dass p in der primfaktorzerlegung von a*a vorkommt ist klar, aber warum zwingend auch in der primfaktorzerlegung von a?

würde nicht ausreichen, wenn sqrt{p} vorkommt?

man kann a*a ja theoretisch schreiben als produkt von primfaktoren:

(p1, p2, sqrt{p},...)*(p1, p2, sqrt{p}...)

 

[ROOT]

würde sqrt(p) in der primfaktorzerlegung vorkommen und ganz sein wäre p doch keine primzahl.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Ancient


und genau hier hakts bei mir.
dass p in der primfaktorzerlegung von a*a vorkommt ist klar, aber warum zwingend auch in der primfaktorzerlegung von a?

würde nicht ausreichen, wenn sqrt{p} vorkommt?

man kann die primfaktoren von a*a ja theoretisch schreiben als:

(p1, p2, sqrt{p},...)*(p1, p2, sqrt{p})

jo klar weil primzahlen ja auch quadratzahlen sein können und sich damit wunderbar sqrt(p) bilden lässt

genau da liegt die antwort: allgemein gilt: die primfakternzerlegung einer quadratzahl (a²) beinhaltet nur faktoren mit geraden potenzen

 

[RRA^StArFiRe]

igitt, macht da wer kryptografie?

 

[Ancient]

okay, dass das mit der wurzel so nicht funktioniert ist klar.
dass p|a² => p|a gilt jedoch immer noch nicht ganz.

warum MUSS p in der primfaktorzerlegung von a vorkommen?

 

[MesH]

Weil die Primfaktorzerlegung von einer Zahl eindeutig (bis auf Reihenfolge halt) ist (Fundamentalsatz der Arithmetik). Heißt hier konkret:
Du hast ne Primfaktorzerlegung von deinem a^2, nämlich p_1 * p_2 * p_3 * ...... * p_n.
Jetzt weißt du natürlich, dass a^2 = a * a. Da deine Primfaktorzerlegung von a^2 eindeutig war, muss p_1 * p_2 * p_3 * ...... * p_n = a * a sein.
Da wiederrum die Primfaktorzerlegung von a = p'_1 * p'_2 * ..... * p'_n' eindeutig sein muss, ist also a^2 = a * a = p'_1 * p'_2 * ..... * p'_n' * p'_1 * p'_2 * ..... * p'_n'. Dein p war laut Vorgabe prim, kann also nicht von der Form (p'_i)^2 sein, also muss es eines der p'_i und damit Teiler von a sein.

 

[Ancient]

geht doch, danke.

 

[MesH]

Hat mein Proseminar über Primzahlen im zweiten Semester doch mal was gebracht

 

[Aule2]

Angenommen: p teilt nicht a, aber p teilt a²
Dann muss es Zahlen 1,p_1,..p_m Geben, sodass 1,p_1,..p_j a teilen und die anderen das "andere" a teilen , und 1*p_1*..*p_k=p ist (Das folgt aus der Primfaktorzerlegung)
(Du schreibst dir p zerteilt hin, und a^2 zerteilt hin, und teilst dann einfach auf.)

Da aber p prim, muss k=1 sein, und p_1 = p. qed

Und schöner:
Sei a kein vielfaches von p, wg p prim => a,p teilerfremd.
Nach Euklid: Es Ex n,m: np+ma =1
=>m²a²=1-2np+n²p²
Da p sicherlich nicht 1 teilt, aber 2np und n²p² kann p m²a² nicht teilen.
Also teilt p nicht a²

Nach Kontraposition das gewünschte!