Statistik: bedingte Erwartungswerte (Auktionstheorie)

[FORYOUITERRA]

nachdem meine frage bzgl. bedingter erwartungswerte im lsz-smalltalk nicht hinreichend beantwortet werden konnte, versuch ichs mal hier nochmal.

für alle, die nur statistik interessiert, meine frage in kurz:
wie berechnet man E[Y|Y>r]?
bzw. noch besser E[g(Y)|Y>r]?


für diejenigen, die wissen wollen wofür ich dies brauche, bzw. selbst sich schon mit auktionen auseinandergesetzt haben:
ich beschäftige mich im moment ein wenig mit single object auctions und brauche die formel um den erwarteten gewinn des verkäufers zu berechnen, falls dieser einen minimalen preis r festlegt, zu dem das objekt überhaupt verkauft wird.

Auktionstypen: vickrey-auktion/zweitpreisauktion. das heißt der höchstbietende zahlt das zweithöchste gebot Y (oder r, falls das zweithöchste darunter liegt) in einer sealed bid-auction - die leute kennen die gebote der anderen nicht.

es gilt, daß jeder bieter am besten dran ist, wenn er ein gebot in höhe von z abgibt. z ist die realisation einer stetigen ZV Z, die vollen support auf [0,w] hat - die verteilung von Z auf [0,w] ist allgemein bekannt, den realisierten Wert von Z (und damit das gebot) ist jedoch private information des jeweiligen bieters (d.h. nur er selbst kennt den wert).

wie hoch der verkäufer vor der auktion das r festlegen sollte um seinen erwarteten gewinn/erlös zu maximieren?
es gilt dabei, daß der verkäufer auch bei nichtverkauf in der auktion einen wert hat.

Es bezeichne im folgenden X das höchste gebot und Y das zweithöchste gebot und f(y) die dichte von Y.

- es können drei fälle auftreten: 1.)der verkäufer verkauft das objekt nicht, 2.) der verkäufer verkauft es, bekommt jedoch nur r 3.)er verkauft das objekt und bekommt das zweithöchste gebot Y.

ad 1.) die WahrScheinlichkeit, daß der verkäufer das objekt nicht verkauft ist natürlich die WS, daß das höchste gebot X weniger als r beträgt. er erhält in dem fall seine eigene Wertschätzung - der erste summand für den erwarteten erlös ist also:
P(X<r)*(WERT)

ad 2.) Die auktion bringt ihm den Wert r, falls X>r und Y<r, d.h. der zweite summand seines erwarteten erlöses lautet
P(X>r,Y<r)*r

ad 3.) falls Y>r ist, dann bekommt er das zweithöchste gebot Y - ex ante kennt er die höhe davon nicht, so daß er sich den erwartungswert vom zweithöchsten gebot Y anschaut - gegeben, daß dieses höher als r ist.

vermutung: dies ist formal E[Y|Y>r], den er mit der WS P(Y>r) erhält.
also lautet der dritte summand: P(Y>r)*E[Y|Y>r]

Frage: wie sieht E[Y|Y>r] mathematisch aus? (falls das stimmt, was ich im dritten fall erzähle - WS korrekt angegeben?)




Anmerkung:
in meinen unterlagen steht für den letzten und von mir gesuchten summanden des 3.) falles nur noch

int_{r}^{w} y*f(y)dy

also der erwartungswert von Y nur noch von r bis w gebildet anstatt wie normalerweise von 0 bis w - dafür fehlt in diesem falle die Wahrscheinlichkeit, daß dies eintritt total (muß sich also irgendwie wegkürzen?! meine WS korrekt?)
problem ist halt, daß ich es nirgends formal aufgeschrieben finde, was ich jedoch für das allgemeine verständnis bräuchte.

p.s. hab mal ne umfrage eingebaut, damit auch die leute, die nichts zum thema sagen können ihren spaß haben.

 

[Didier]

Von Auktionstheorie verstehe ich nicht sonderlich viel, aber mathematisch kann ich Dir wahrscheinlich weiterhelfen.

Der Erwartungswert ist wie folgt definiert:

E[g(Y)] = Int ( g(y) d P(y) ). Wobei P die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y bezeichnet.

Analog dazu ergibt sich der bedingte Erwartungswert als:
E[g(Y) | Y>r] = Int ( g(y) d (P|Y>r)(y) ) wobei ich mit P| Y>r die bedingte Wahrscheinlichkeit fuer Y meine.

(Die Existenz folgt aus Radon Nikodym... Annahmen bin ich mir gerade nicht ganz sicher, ist aber erfahrungsgemaess nie ein Problem.)

Die Dichte von P|Y>r kriegst nun ganz klassisch mit Bayes.
f ( Y | Y>r ) = 1(y>r) * f(y) / Int( 1(y>r) * f(y) ) .
und wenn Du das einsetzt kriegst auch genau die Formel, die Du da stehen hast...

Ich kenne Deine Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie nicht und habe gerade nicht ewig Zeit, deshalb sind ein paar Schritte recht schnell. Also bitte einfach nachfragen, wenn irgendwas unklar sein sollte.

 

[FORYOUITERRA]

danke, didier fürs erklären.

für die auktionstheoretiker:
f ( Y | Y>r ) = 1(y>r) * f(y) / Int( 1(y>r) * f(y) ) =1(y>r) * f(y) /(1-F(r))
E[Y | Y>r] = 1/(1-F(r)) int y * 1(y>r) * f(y) = 1/(1-F(r))*int_{r}^{w} y*f(y).
das ereignis bekommt er mit der WS, daß p(Y>r), also erhält er im dritten falle einfach nur int_{r}^{w} y*f(y).

der zu erwartendet erlös/gewinn des verkäufers ist dann insgesamt
P(X<r)*(WERT) + P(X>r,Y<r)*r + int_{r}^{w} y*f(y)dy