Pyramidenstumpf mit Vektoren (Klasse 11)

[pYRo00]

Hi Leute,

ich stehe hier gerade vor einem Problem. Ich habe hier einen regelmäßigen Pyramidenstumpf in einem räumlichen Koordinatensystem, wo 2 Punkte gegeben sind.
Die Punkte sind A(8/0/0) und G(2/6/5). Der Punkt D ist der Koordinatenursprung.
Nun soll ich alle Koordinaten von den Eckpunkten und den Oberflächeninhalt des gesamten Pyramidenstumpfes ermitteln.

Kann mir da jemand helfen?

Meine Ergebnisse für die Punkte sind bisher:
A(8/0/0) E(4/0/5)
B(8/8/0) F(4/6/5)
C(0/8/0) G(2/6/5)
D(0/0/0) H(2/0/5)


Für den Oberflöcheninhalt dachte ich daran, den Flächeninhalt des Mantels mithilfe der Flächeninhaltsberechnung eines Trapezes zuermitteln. D.h. eine Seite = 1 Trapez --> 4x den Flächeninhaltes des Trapezes.
Dann diesen Flächeninhalt + Grundseite + den "Deckel"

 

[maziques]

ein regelmäßiger pyramidenstumpf wird aber sicher nicht durch 2 punkte vollständig beschrieben :/

falls eine quadratische pyramide gemeint ist, brauchst du ja noch mindestens die höhe des stumpfes und der pyramide.

 

[mfb]

Mit D als Koordinatenursprung zusammen reicht es, wenn es eine regelmäßige und quadratische Pyramide ist.

>> Kann mir da jemand helfen?
Die 4en und 0en bei E-H solltest du nochmal überdenken, aber ansonsten stimmt alles.

 

[maziques]

Original geschrieben von mfb
Mit D als Koordinatenursprung zusammen reicht es, wenn es eine regelmäßige und quadratische Pyramide ist.

>> Kann mir da jemand helfen?
Die 4en und 0en bei E-H solltest du nochmal überdenken, aber ansonsten stimmt alles.

selbst wenn wir schon unsere 2. annahme machen, das D nicht nur Koordinatenursprung, sondern auch noch ein Punkt des Pryamidenstumpfes sein soll, so brauchen wir noch mindestens die höhe der nicht "gestumpften" Pyramide.

 

[mfb]

Anschaulich:
Man hat 2 Punkte der Grundfläche, daraus kennt man deren Seitenlänge. Eine "schiefe" Grundfläche würde nicht zum Punkt G passen (und außerdem die Berechnung komplizierter machen), also muss sie in der x1-x2-Ebene liegen und ist damit eindeutig bestimmt. Zusammen mit G kennt man damit alle anderen Punkte.


Mathematisch:
Die quadratische und regelmäßige Pyramide im Raum hat 9 Freiheitsgrade, beispielsweise so beschreibbar:
Verschiebung in x, y, z-Richtung (3), 2 für die Ausrichtung der Höhe, 1 für die Drehung um die Höhe, 1 für die Seitenlänge unten, 1 für die Höhe der Pyramide, 1 für die Höhe des Pyramidenstumpfs.

D ist (muss man aus dem Kontext erraten) eine Ecke der Grundfläche -> 3 Koordinaten
B (ebenso aus dem Kontext: Ecke der Grundfläche) -> 3 Koordinaten
G (...) -> 3 Koordinaten

=> 9 Angaben für 9 Freiheitsgrade, der Pyramidenstumpf ist damit eindeutig beschreibbar (bis auf mögliche Symmetrien, die hier aber nicht auftreten).

 

[maziques]

sehr anschaulich dein beitrag, die frage ist, was soll G sein.

wenn man eine pyramide findet, die das alles erfüllt, ist G ja eine ecke auf dem "stumpfquadrat" . dreht man jetzt die grundfläche um einen bestimmten winkel auf der achse AD, so kann man einen stumpf finden, wo G genau auf dem nächsten eckpunkt der stumpffläche liegt.

G bewegt sich sozusagen auf der einen seite des stumpfquadrats auf den andern eckpunkt.
dabei verändert sich aber die höhe des stumpfes, er ist also nichtmal kongruent zum vorherigen. deswegen muss eine der beiden höhen gegeben sein.

hoffe das ist anschaulich.

edit: nicht nur das, man kann die grundfläche auch in die x-z-ebene statt in die x-y-ebene legen.

und warum sollte man die grundfläche nicht auch schief legen können?
solange g nicht genau senkrecht auf dem mittelpunkt des quadrates liegt, ist das doch kein problem.

vllt. verstehen wir auch was versch. unter "regelmäßige quadratische pyramide" : laut wikipedia und meinem etwas angestaubtem schulwissen heißt regelmäßig nichts anderes, als das die grundfläche ( hier quadratisch ) ein regelmäßiges n-eck ist und die spitze senkrecht auf dem grundflächenmittelpunkt liegt.

 

[mfb]

Stimmt, 2 Möglichkeiten für die Pyramide gibt es noch (4, wenn G über D sein darf), mein Fehler. Beliebig viele aber nicht, da die Pyramide sonst nicht regelmäßig wäre.


Falls jemand nachrechnen möchte: Ich lasse zunächst mal beliebige Drehungen zu:

A(8|0|0) gegeben
D(0|0|0) gegeben
B(8|8*cos(phi)|8*sin(phi))
C(0|8*cos(phi)|8*sin(phi))
für phi=0 erhält man die vom Threadersteller bestimmte Grundfläche.

G muss in der Ebene liegen, in der C und A liegen und die orthogonal zur Grundfläche ist. Der Normalenvektor zur Grundfläche ist (0|sin(phi)|cos(phi)) und somit erhält man für G:
G = t*A + (1-t)*C + 8s*(0|sin(phi)|cos(phi))
Der Faktor 8 ist Willkür, denn wenn man G noch einsetzt vereinfacht sich die Gleichung zu
(1/4|3/4|5/8) = t*(1|0|0) + (1-t)*(0|cos(phi)|sin(phi)) + s*(0|sin(phi)|cos(phi))

Aus der x-Komponente erhält man direkt t=1/4, die Gleichung lässt sich damit weiter umformen, die x-Komponente habe ich einfach mal weggelassen:
(3/4|5/8) = 3/4*(cos(phi)|sin(phi)) + s*(sin(phi)|cos(phi))
2 Gleichungen (Komponenten), 2 Unbekannte. Wenn man noch etwas weiterrechnet, wird man 2 Lösungen für phi bekommen.


Womit mit viel Rechenaufwand (Zahlen... und dann noch so große ) wieder der Ansatz über die Freiheitsgrade bestätigt wurde