Potentialtheorie: Dipole

[ipskab]

Servus Leute,

mal wieder eine kleine Kniffligkeit :wave:.

Ziel ist dies:



Ein paar werden sich noch an meine Kugelumströmung erinnern, da handelte es sich nur um eine Kugel, die ich aus der Überlagerung einer Parallelströmung und eines Dipols erreichte. Ich möchte nun aber noch weitere "Kugeln" in mein Modell einbauen, allerdings stellt sich das schwerer als gedacht heraus!
Nach ein paar Recherchen und small-talk mit Profs (die das auch ned aus dem Stegreif wussten) kamen wir zu dem Schluss, dass es ganz und gar nicht trivial ist einen Dipol (also meine Kugel im Strömungsfeld) im Koordinatensystem zu verschieben.

Auf der x-Achse verschieben ist noch denkbar einfach, dazu genügt es in der allgemeinen Formel jedes x durch (x-d1) zu substituieren und fertig.

Als ich dann in meinem jugendlichen Leichtsinn das natürlich auch für die y-Achse machte, kam ein bisschen Mist raus

Mein Plan dahinter ist, allgemein die Potentialfunktionen für mehrere Dipole mit Parallelströmung aufzustellen, partiell abzuleiten, um das Geschwindigkeitsfeld zu bekommen und dann "normal" weiterrechnen.

Die allgemeinste Form eines Dipols, welche ich aus unzähllichen Büchern finden konnte war:

PHI(Dipol) = 0,5*(r0^3)*x/|x|^3 wobei x ein Vektor ist
also wenn x jetzt nur auf der x-Achse liegt, dann ergibt sich:
PHI(Dipol) = 0,5*(r0^3)*x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) mit dem Radisu r

Das Problem ist, wie ich meine herausgefunden zu haben, dass der Dipol ja eine Orientierung hat, somit MUSS das x für x-Achse im Zähler drinbleiben. Eine Substitution des y im Nenner mit (y-d2) führte wie schon geschrieben nicht zum gewünschten Ergebnis.

Was ich damit fragen will, weiß einer WIE man einen Dipol ALLGEMEIN im Koordinatensystem verschiebt? Am besten im 3D-Fall.

Merce und Grüße

Edit:
Ich poste doch lieber noch einen Auszug:

 

[mfb]

Gib deinem Dipol einen Vektor d (der hängt nicht vom Ort ab, nur von der Dipolrichtung und Stärke, also deinem r_0) und nenne den Abstand zwischen Punkt und Dipolzentrum r, dann ist das Potential (d*r)/|r^3| mit dem Skalarprodukt im Zähler und ggf. passender Normierung sofern die noch nicht im d steckt.

 

[ipskab]

danke mfb,

aber ich versteh das nicht so ganz richtig..bzw. glaube ich genau was du vorschlägst ja getan zu haben. Den Abstand r zu meinem neuen Dipol (also ungleich Koordinatenursprung) bekomme ich ja durch einsetzen meiner neuen Koordinaten (y-d2) und (x-d1).

Und das x im Zähler muss soweit ich das verstanden habe drinbleiben, weil es sonst mit der Parallelströmung zu keiner Kugeöumströmung kommt (Parallelströmung in x-Richtung --> auch x im Dipol)

Oder - und das hoffe ich - ich missverstehe dich

 

[cheeseNonion]

Kannst du mal dein Geschwindigkeitsfeld zeigen? Ich könnte mir vorstellen, dass beim Berechnen davon aus dem Potentialfeld irgendwas nicht ganz sauber ist.

 

[mfb]

Der Nenner mag richtig sein, aber ich sehe nicht wie dein Zähler aussieht.

Sofern der Dipol in x-Richtung zeigt, sollte da einfach der x-Abstand zum Dipol drinstehen (was im Allgemeinen nicht x ist).

Ich bezweifle aber, dass du deine zwei Kugeln so einfach durch Dipole beschreiben kannst.

 

[ipskab]

Kannst du mal dein Geschwindigkeitsfeld zeigen? Ich könnte mir vorstellen, dass beim Berechnen davon aus dem Potentialfeld irgendwas nicht ganz sauber ist.

also das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich ja durch partielle Ableitung, falls du das meinst. Ich kann dir nen Screen von MathCad geben. Das ergibt dann den 2. Screenshot in meinem Eingangspost.

das gebe ich dann in MatLab ein und lass rechnen^^ (auf Abschreibfehler habe ich sehr genau geachtet)

@mfb

ja mit einer Parallelströmung UND einem Dipol lässt sich exakt eine Kugelumströmung (3D --> Kugelumströmung, 2D --> Zylinderumströmung) abbilden! Ein einzelner Dipol ist einfach ein einzelner Dipol.

 

[cheeseNonion]

Ich meinte das Geschwindigkeitsvektorfeld (quiver plot in matlab). Deine Potentialfunktion kommt mir aber auch merkwürdig vor. Woher kommt der Auszug? Ich habe gerade nochmal nachgeschaut, und in meinen Skripten eine etwas andere Formel gefunden.

Potential im Punkt (x,z) für den Dipol im Punkt (x',z') mit der Dipolachse in x-Richtung

phi(x,z) = -M/(2*pi) * (x-x')/[(x-x')² + (z-z')²]

M ist das Dipolmoment. Selbst wenn du da M=2*pi*R^2*u einsetzt, sollte da was anderes, als bei dir rauskommen. Das ^(3/2) hat mich schon am Anfang irritiert. Kann es sein, dass du da R und r zusammengeschmissen hast?

 

[ipskab]

ne meine Potentialfunktion ist schon richtig. Und genau die gleiche Formel finde ich auch in zig anderen Büchern/Skripten usw.
Deine Formel ist doch 2D, meine ist 3D

 

[ipskab]

Nachtrag: einzelne Kugelumströmung (Strömungsrichtung jeweils von links)

sqrt(u^2+v^2)

u

v

Edit: Hier noch mit 2 Dipolen, wie ihr seht, Kugelumströmungen^^ (die restlichen hab ich mir nun gespart)

 

[mfb]

@mfb

ja mit einer Parallelströmung UND einem Dipol lässt sich exakt eine Kugelumströmung (3D --> Kugelumströmung, 2D --> Zylinderumströmung) abbilden! Ein einzelner Dipol ist einfach ein einzelner Dipol.

Bei einer Kugel: Ja, kein Ding. Ich habe eher Bedenken bei mehreren Kugeln.

 

[ipskab]

Bei einer Kugel: Ja, kein Ding. Ich habe eher Bedenken bei mehreren Kugeln.

also wie du an meinem letzten screen siehst, geht das doch, zumindest mal in x-Richtung

und das ist doch das tolle an der Potentialtheorie, dass man durch Superposition sich die kompliziertesten Strömungen "zusammenbauen" kann. Ich hoffe mal echt, dass ist nicht das Ende der Fahnenstange^^

 

[mfb]

In x-Richtung brichst du ja auch nicht die Symmetrie des Aufbaus .

 

[ipskab]

also sie wies ausschaut geht das analytisch einfach nicht! die dipole sind analytische formeln, die sich nicht beliebig überlagern lassn. man könnte die laplace gleichungen nur numerisch lösen, aber das is ne gaaaaaaaaanz andere baustelle

 

[MegaVolt]

Felder sind doch additiv, da steht der Überlagerung eigentlich nichts im Weg.
Aber wenn du nur einen Dipol verschieben willst dann brauchst du ja gar nichts überlagern, es wird ja verschoben.

Vielleicht verstehe ich auch die Fragestellung nicht ganz aber du hast doch eine vektorielle Dipol-Formel.
Diese vereinfachst du nun, indem du den Dipol parallel zur Achse legst.
Nun willst du den Dipol nicht mehr parallel zur Achse haben.
Wieso löst du dann nicht einfach die ursprüngliche, nicht angepasste vektorielle Form der Gleichung?