Matheproblem (Quadrik / LinA II)

[ROOT]

Hi, da in paar Tagen Klausur ist und ich den Scheiß hier aus dem Skript nicht verstehe und auch ein paar Kommilitonen die ich gefragt habe mir nicht wirklich weiterhelfen konnten versuche ich es hier.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Normalform folgender Quadrik:
F = { (x,y,z) aus R³ | x² + 4xz - 3y² + 2yz + 2x - 10y + 5 = 0 }
Besitzt F einen Mittelpunkt?

Mein Lösungsansatz:

Ich bestimme zunächst die Form f(x) = tx M x + tb x + c für F = {f=0}. (t = transponiert).
Ich mache mir also die symmetrische Matrix M =

1  0  2
0 -3  1
2  1  0

, außerdem b = (2, -10, 0), c = 5.
Da M invertierbar => b ist im Bild von M => F ist Mittelpunktsfläche.

Soweit so gut. Wie bekomme ich nun die Normalform?
Mein Skript sagt mir bestimme b + 2 Ma = 0, durch Translation mit a wird der lineare Anteil zu 0.
Ich rechne also b + 2 Ma = 0 => a = (1, -2, -1).

Hier bin ich dann aber auch mit meinem Latein am Ende. Irgendwer sagte mir ich müsse nun lambda * a in f einsetzen, damit kann ich dann ein lambda ausrechnen, aber was bringt mir das? Irgendwo sollte auch eine quadratische Ergänzung stattfinden, hab ich auch nirgends.


Hier wird eine vergleichbare Aufgabe komplett anders gerechnet, außerdem kommt dabei auch etwas raus was bei uns gar nicht als Normalform bezeichnet wurde.

Normalform:
1) x_1^2 + ... + x_r^2 - x_p+1^2 - ... - x_r^2 = 1
2) x_1^2 + ... + x_r^2 - x_p+1^2 - ... - x_r^2 = 0
3) x_1^2 + ... + x_r^2 - x_p+1^2 - ... - x_r^2 = x_r+1

Wäre cool wenn mir da jemand weiterhelfen kann, thx!

 

[Aule2]

Nortmalform wird erreicht, indem Du nen Basiswechsel vollziehst.

Also ungefähr:
x² + 4xz - 3y² + 2yz + 2x - 10y + 5 = 0

x²+2x(2z+1) +(2z+1)² ....

(x+2z+1)² +....

x~:= x+2z+1

dann steht da:
x~² + ......

und somit kommste auf ne Normalform, die einer Basisumwandlung entspricht -- geht über die nicht Matrix Schreibweise meiner Erinnerung zufolge allerdings leichter.

 

[SvenGlueckspilz]

Entweder du machst das wie Aule mit binomischen Formeln, man kann aber auch die Matrix durch simultane Zeilen und Spaltenumformungen diagonalisieren, da sie symmetrisch ist. Genauer kann ichs dir leider nicht mehr sagen, zu lang her. Hab auch keine Zeit mir das nochmal anzuschauen im Moment.

 

[EnimaN]

du wirst doch wohl ne matrix diagonalisieren können -.-

bestimmt halt die eigenwert über det( M - \lambda * E) = 0

darüber dann die eigenvektoren und schon hast eine diagonalisierungsmatrix, mit der du deine koordinaten transformieren kannst

 

[ROOT]

Thx für die Antworten.

@ Aule:
So halb versteh ich deinen Ansatz, aber irgendwie ...
Wenn ich einfach irgendwelche Terme als x~ definieren kann, warum sag ich ned von Anfang an x² + 4xz - 3y² + 2yz + 2x - 10y + 5 =: x~ ?
Wo ist da die Grenze, was darf ich hier einfach als neue Koordinate zusammenfassen und was nicht?

Ist das hier richtig?

x² + 4 xz - 3y² + 2yz + 2x - 10y + 5 = 0
=> x² + 2x (2z+1) + (2z+1)² - 3y² + 2yz - 10y + 5 = 0
=> (x+2z+1)² - (2z+1)² - 3y² + 2yz - 10y + 5 = 0
=> (x+2z+1)² - (2z+1)² - 3y² + 2yz - 10y + 5 + (y+z)² - (y+z)² = 0
=> (x+2z+1)² - (2z+1)² - 3y² - 10y + 5 + (y+z)² - y² - z² = 0
// (x+2z+1) =: x1, (2z+1) =: x2
=> x1² - x2² - (2y)² - 10y + 5 + (y+z)² - z² = 0
// (2y) =: x3, (y+z) =: x4, z =: x5
=> x1² - x2² - x3² + x4² - x5² - 10y + 5 = 0
=> x1² - x2² - x3² + x4² - x5² - 10y + (y-5)² - (y-5)² + 5 = 0
=> x1² - x2² - x3² + x4² - x5² + (y-5)² - y² - 20 = 0
// (y-5) =: x6, (y) =: x7
=> x1² - x2² - x3² + x4² - x5² + x6² - x7² = 20
// umnumerieren
=> x1² + x2² + x3² - x4² - x5² - x6² - x7² = 20

@SvenGlueckspilz, EnimaN:
Ja, ich kann eine Matrix diagonalisieren.
Was mache ich denn mit dieser Diagonalmatrix dann? Ist ja schön und gut dass ich sie bilden kann, aber wenn ich nicht weiß wozu, hat das wenig Sinn.
Ich dachte ja dass ich es NICHT mit Eigenwerten rechnen muss. Bin hier total verwirrt.

 

[Aule2]

Du geshst immer so vor:
Alles der ersten Variable in eine Quadr. Form bringen, dann die nächste Variable und so weiter.

Beliebiges Umdefinieren zieht nach sich, dass Du keine Basistransformation machst, bzw zirkülär Vorgehst....

Also ist Dein Weg mE nicht ganz sinnvoll...

x² + 4 xz - 3y² + 2yz + 2x - 10y + 5 = 0
=> x² + 2x (2z+1) + (2z+1)² [Color =red ]- (2z+1)²[/color]- 3y² + 2yz - 10y + 5 = 0
=> (x+2z+1)² - (2z+1)² - 3y² + 2yz - 10y + 5 = 0
x~ := x+2z+1
=> x~² -(3y² -2yz+10y)  -4z²-4z-1 +5 =0
=> x~² -[ 3y²  -2ysqrt3(z/sqrt3)-5/sqrt3 +(z/sqrt3-5/sqrt3)²]+(z/s3-5/s3)² -4z²-4z +4 =0
y~:=sqrt3 y - z/sqrt3 +5/sqrt3
=> x~²-y~² +z²/3 -4z² -10/3 z -4z + 25/3+4 =0
=> 3x~²-3y~² -11z²-22z+37 =0
=>3x~² -3y~² -11 (z² +2z -37/11) =0
=>3x~² -3y~² -11 (z²+2z +1 -48/11) =0
z~:=z+1
=>3x~² -3y~² -11 z~² +48=0
=> -1/16 x~² +1/16y~² +11/48z~² =1
x^ := 1/4 x~, y^ := 1/4y~, z^ := sqrt(11/48)z~
Damit:
-x^²  +y^² +z^² =1

Als ne Normalform..
Modulo Rechenfehler..

Diagbarkeit -> Basiswechesl matrixen A,A^-1
diese an den (x|y|z) Vektor hinmultiplitzieren, gibt dir ne schönere Form.
quadrik, könnte sein, dass die matrix dann positiv definit sein muss, also alle EWe positiv => zusätzliche korrekturMatrix D:=diag(sqrt(EW)) dann haste die Einheitsmatrik ...

 

[ROOT]

Werd da immernoch nicht ganz schlau draus. Dass mein Weg nicht richtig war hab ich mir ja schon gedacht.
Aber bei deiner Version: Was hindert mich daran statt x^ := 1/4 x~ einfach zu sagen x^ := -1/4 x~.
Dann hätte ich in der Normalform ein anderes Vorzeichen. Mache ich dasselbe für y^ und z^, habe ich auf einmal eine ganz andere Form. D.h. ich könnte gleich von Anfang an x^+y^+z^=1 hinschreiben und wüsste dass es eine Normalform ist - womit die Normalform nichts über die Quadrik aussagen würde.

Zum zweiten Teil:
Ich bestimme also die Diagonalmatrix D zu M sowie die Invertierte davon und setze dann jeweils D^-1 x D in f ein anstatt nur x ?

Deinen letzten Satz versteh ich nicht. Du meinst M muss pos. definit sein weil es zu einer Quadrik gehört, und dann? Was bringt mir die Einheitsmatrix? :P

Danke für deine Mühe, aber es wäre nett wenn du etwas ausführlicher wärst.

 

[Aule2]

das minus verschwindet im quadrat, also bleibt die nbormalform erhalten --> ist lediglich ne spiegelung ..

Anschaulich sind geeignete Umwandlungen nis anderes als drehungen und stauchungen, sodass man das geometrische objekt in ein objekt entsprechend der normalform überführt ...

Geeignete umwandlungen:
erste Koordinate kann mit den anderen koordin verbastelt werden, nächste koordinate mit den noch übrigen, usw ...
wenn du das mal kurz ein wenig durchüberlegst fällt dir auf, das nach dem ersten schritt auch die erste koordinate nur noch in x~^2 form dsasteht...
und dann machste mit dem rest halt induktiv immer so weiter

zur Matrix form.
dioagonalform, sagen wir mal D=diag(a,b,c); zusätzliche basistransformations mit T sodass T^-1 = Ttransponiert
|D|:=diag (|a|, .., |c|)
sqrt|D| := diag sqrt(|a|), .., sqrt(|c|)
Damit ist E~=T^t sqrt|D|B sqrt|D|T
wobei E ist von der Form E= diag(+-1/0, .., +-1/0)
also geeignete normalform Matrix
also Q(x)=xtBx+bx+c
=> Q(sqrt(|D|*T x))=xtEx+bsqrtDTx+c =: xtEx+b~x+c
und dann noch ne linear Verschiebungf, und du hastz wieder ne normalform --> praktikabler ist mE allerdings die quadratische Ergänzungsmethode.
Wenn es Dir allerdings nur um die Normalform geht, dann reichen die Vorzeichen der Eigenwerte ... (wie oben angedeutet!)

Hoffe, es wird eher klarer den unklarer