Mathe

[Jumbala]

Hi

Ich hab nen kleines Matheproblem, aufgabenfeld Kurvendiskussion.

Zeigen sie: Das Schaubild einer Funktion f mit f(x)= ax^5 - bx^3 + cx hat drei Wendepunkte, die auf einer Ursprungsgerade liegen (a,b,c € R+).

Naja erstmal halt das notwendige Kriterium für Wendestellen angewendet.

f(x)= ax^5 - bx^3 + cx
f'(x)= 5ax^4 - 3bx^2 + c
f''(x)= 20ax^3 - 6bx^1

f''(x) = 0 ist notwendig also:

0 = 20ax^3 - 6bx^1
0 = x(20ax^2 - 6b)

Daraus folgt x = 0 ist eine Wendestelle. Wenn jetzt f(0) = 0 ist dann liegt die Wendestelle x = 0 wohl auf einer Ursprungsgeraden.

0 = a * 0^5 - b*0^3 + c*0 = 0

Soweit so gut. Das ist ja noch easy. Aber jetzt:

0 = 20ax^3 - 6bx^1
0 = x(20ax^2 - 6b)
=> 0 = 20ax^2 - 6b
x1 = Wurzel(6b/20a)
x2 = - Wurzel(6b/20a)

So wie kann ich jetzt zeigen das der Wendepunkt mit der Stelle x1 = Wurzel(6b/20a) auf einer Ursprungsgeraden liegt?
Formel einer Ursprungsgeraden ist ja y = mx + 0

Ab da hab ich aber Gedankenstau. Naja und das der Wendepunkt mit der Stelle x2 = - Wurzel(6b/20a) auf einer Ursprungsgeraden liegt, kann man ja mit der Symmetrie zum Ursprung beweisen.

Thx im vorraus

 

[FORYOUITERRA]

eine gerade ist vollständig durch zwei punkte bestimmt.

 

[Ancient]

konstruier doch erst einmal eine gerade, die durch x1 und x2 geht.
zum beispiel durch subtraktion der richtungsvektoren der wendestellen, r(z) = r(x1) + z*(r(x2)-r(x1)).
z ist ein faktor € R, über die r denk dir jeweils den vektorpfeil.
dann musst du nur noch prüfen ob (0,0) ein punkt auf der geraden ist.

 

[Jumbala]

Original geschrieben von MuchO_[SpeeD]
eine gerade ist vollständig durch zwei punkte bestimmt.

nun das weiß ich danke. nur was willst du mir tiefsinniges damit sagen?

Original geschrieben von Ancient
konstruier doch erst einmal eine gerade, die durch x1 und x2 geht.
zum beispiel durch subtraktion der richtungsvektoren der wendestellen, r(z) = r(x1) + z*(r(x2)-r(x1)).
z ist eine beliebige konstante € R, über die r denk dir jeweils den vektorpfeil.
dann musst du nur noch prüfen ob (0,0) ein punkt auf der geraden ist.

Ich fürchte ich kann das net konstruiren, weil ich noch nie was von subtraktion der richtingsvektoren gehört hab.
Müsste viel einfacher gehen glaube. :S

trotzdem danke

 

[Ancient]

okay.

MuchO_[SpeeD] hat eigentlich schon alles gesagt.

der "Kniff" ist, dass du die Gerade bestimmst, die durch deine zwei Wendepunkte läuft, und dann schaust, ob die Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.

Spoiler

m mit m = (y2 - y1) / (x2 - x1) bestimmen und dann m = (y-y1) / (x-x1) nach y auflösen, so bekommst du eine f(x) = a1x^1 + a0 bzw y=mx+b form. wenn b=0 => ursprungsgerade.

 

[Jumbala]

Ah okaey das macht Sinn, von der Perspektive hab ich das ganze noch garnicht betrachtet.

 

[Spanzdolf]

Wo isn eigentlich grad das Problem?

Du hast gezeigt, dass die Funktion 3 Wendepunkte hat, wovon einer der Ursprung ist, und weil die Funktion ungerade ist, folgt direkt, dass diese Wendepunkte auf einer Ursprungsgerade liegen müssen.

 

[maziques]

Original geschrieben von Spanzdolf
Wo isn eigentlich grad das Problem?

Du hast gezeigt, dass die Funktion 3 Wendepunkte hat, wovon einer der Ursprung ist, und weil die Funktion ungerade ist, folgt direkt, dass diese Wendepunkte auf einer Ursprungsgerade liegen müssen.

yo genauo so, du musst nur zeigen, dass die beiden nicht auf der y-achse liegenden wendepunkte für alle a,b,c reell sind ( kann man anhand des minuszeichens erkennen ) und schon ist die aufgabe gelöst. alles andere kannst du anhand der ungeradigitätkeit (punktsymmetrie zum nullpunkt) argumentieren.

 

[FORYOUITERRA]

ihr empfehlt nicht ernsthaft jemanden, der nicht in der lage ist eine gerade zu bestimmen, mit dem spezialfall der punktsymmetrie zu argumentieren?!