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ist wohl glaube ich ein eher schwieriges problem, ich bin mir nichtmal sicher ob es lösbar ist, wobei ich eigentlich genügend bedingungen habe. es ist aus einem schulbuch meine freundin, die 12. klasse geht, und ich kann mir nicht vorstellen, dass die autoren das so gemeint haben, es erscheint mir nämlich etwas schwierig.
also gesucht ist ein polynom dritten grades.
der graph ist punktsymmetrisch zum ursprung, also nullstelle bei 0. die anderen beiden sind 2 und logischerweise -2. ein quadrat mit den punkten (0|0) und (2|-2) soll vom graphen so aufgeteilt werden, das zwischen der fläche innerhalb des graphen und der fläche außerhalb des graphen (aber innerhalb des quadrats) ein verhältnis 1:5 oder 5:1 herrscht (im buch sind die beiden flächen nur als "teilflächen" bezeichnet, weshalb nicht klar ist, ob das verhältnis nun 5:1 oder 1:5 ist). wenn die kleinere fläche zwischen graph und x-achse liegen soll, ist die lösung ziemlich einfach, ich glaube 1/6x³-2/3x kommt raus, ist auch unwichtig, typische schulaufgabe halt.
nehmen wir aber mal an, dass die fläche zwischen dem graphen die größere sein soll. dann gibt es da ein problem. es ist nämlich nicht trivial, ob der graph nun im negativen aus dem quadrat rausläuft oder nicht. hier mal eine skizze dazu:
aus den bedingungen ergibt sich folgendes:
f(x)=ax³+cx, wobei c=-4a ist.
wir verschieben nun den graphen samt quadrat um +2 auf der y-achse. falls dieser graph g(x)=ax³-4ax+2 nullstellen im positiven hat, so tritt der originalgraph f(x) aus dem quadrat aus, bzw. tangiert die untere kante des quadrats. nehmen wir mal an es ist so. dann ergibt sich für die eben diese nullstellen n und m folgender zusammenhang:
n=2-m, wobei n € ]0;1]. für m ergibt sich m=2-n.
wenn man den flächeninhalt des quadrats nun im verhältnis 1:5 aufteilt bekommt man 2/3 und 10/3, wobei die größere ja durch den graphen, die x-achse und evtl. ( das ist ja unsere erste annahme ) die untere kante des quadrats begrenzt ist. es ergibt sich für den betrachteten 1. fall:
10/3=int(0;n)(ax³-4ax+2)dx+int(2-n;2)(ax³-4ax+2)dx+2(2-2n)
also die beiden integrale sind halt die flächen von eintritt bis austritt des graphen in bzw. aus dem quadrat. die zwischenfläche ist halt der term am ende. für n=1, also den fall, das die untere kante g(x) nur tangiert ist die zwischenfläche logischerweise 0.
soweit, so gut. falls der graph aber garnicht austritt, so muss ja auch n=1 gelten, wobei man n dann nur noch als wert betrachten muss, nicht mehr als nullstelle. also der 2. fall:
10/3=int(0;1)(ax³-4ax+2)dx+int(1;2(ax³-4ax+2)dx
=int(0;2)(ax³-4ax+2)dx
jetzt hab ich diese beiden fälle, wie bekomme ich da jetzt mein a raus?
bitte nicht lachen, falls ich mir jetzt alles zu schwierig mache!
also gesucht ist ein polynom dritten grades.
der graph ist punktsymmetrisch zum ursprung, also nullstelle bei 0. die anderen beiden sind 2 und logischerweise -2. ein quadrat mit den punkten (0|0) und (2|-2) soll vom graphen so aufgeteilt werden, das zwischen der fläche innerhalb des graphen und der fläche außerhalb des graphen (aber innerhalb des quadrats) ein verhältnis 1:5 oder 5:1 herrscht (im buch sind die beiden flächen nur als "teilflächen" bezeichnet, weshalb nicht klar ist, ob das verhältnis nun 5:1 oder 1:5 ist). wenn die kleinere fläche zwischen graph und x-achse liegen soll, ist die lösung ziemlich einfach, ich glaube 1/6x³-2/3x kommt raus, ist auch unwichtig, typische schulaufgabe halt.
nehmen wir aber mal an, dass die fläche zwischen dem graphen die größere sein soll. dann gibt es da ein problem. es ist nämlich nicht trivial, ob der graph nun im negativen aus dem quadrat rausläuft oder nicht. hier mal eine skizze dazu:
aus den bedingungen ergibt sich folgendes:
f(x)=ax³+cx, wobei c=-4a ist.
wir verschieben nun den graphen samt quadrat um +2 auf der y-achse. falls dieser graph g(x)=ax³-4ax+2 nullstellen im positiven hat, so tritt der originalgraph f(x) aus dem quadrat aus, bzw. tangiert die untere kante des quadrats. nehmen wir mal an es ist so. dann ergibt sich für die eben diese nullstellen n und m folgender zusammenhang:
n=2-m, wobei n € ]0;1]. für m ergibt sich m=2-n.
wenn man den flächeninhalt des quadrats nun im verhältnis 1:5 aufteilt bekommt man 2/3 und 10/3, wobei die größere ja durch den graphen, die x-achse und evtl. ( das ist ja unsere erste annahme ) die untere kante des quadrats begrenzt ist. es ergibt sich für den betrachteten 1. fall:
10/3=int(0;n)(ax³-4ax+2)dx+int(2-n;2)(ax³-4ax+2)dx+2(2-2n)
also die beiden integrale sind halt die flächen von eintritt bis austritt des graphen in bzw. aus dem quadrat. die zwischenfläche ist halt der term am ende. für n=1, also den fall, das die untere kante g(x) nur tangiert ist die zwischenfläche logischerweise 0.
soweit, so gut. falls der graph aber garnicht austritt, so muss ja auch n=1 gelten, wobei man n dann nur noch als wert betrachten muss, nicht mehr als nullstelle. also der 2. fall:
10/3=int(0;1)(ax³-4ax+2)dx+int(1;2(ax³-4ax+2)dx
=int(0;2)(ax³-4ax+2)dx
jetzt hab ich diese beiden fälle, wie bekomme ich da jetzt mein a raus?
bitte nicht lachen, falls ich mir jetzt alles zu schwierig mache!