mathe aufgabe, help plz :P

[siOu]

folgende "figur" ist gegeben: ein quadrat mit der kantenlänge a in der mitte um den ein kreis verläuft, der durch alle 4 ecken des quadrates geht. um diesen kreis wiederum geht ein quadrat, welches den kreis an allen 4 seiten in dessen äussersten punkten berührt. das ganze geht dann halt unendlich lang weiter.

die aufgabe lautet dann halt, die summe aller flächen der quadrate anzugeben.

durch ausrechnen einiger erster quadrate kommt man für das erste auf a², das zweite 2a², das 3. 4a², das 4. 8a² usw...

ich selber würde jetz einfach sagen dass damit klar ist, dass sich die fläche für jedes weiter quadrat einfach verdoppelt. allerdings bin ich mir sicher, dass der mathematiker sagen wird, dass man die aussage nicht durch das einsetzen einiger zahlenbeispiele (man müsste dann quasi alle zahlen einsetzen?!?) bestätigen kann.

wie beweist man dass sich die fläche für jedes weitere quadrat verdoppelt?

 

[Picard]

beweis durch vollständige induktion?

 

[Supervisor3]

Angenommen deine Berechnungen stimmen, wäre das in Summenschreibweise:

SUMME[von n=0 bis inf] 2^n *a²
logischerweise wächst das ganze über alle grenzen

den Beweis hast du soweit ich das sehe schon selbst erbracht, indem du die ersten elemente ausgerechnet hast und dich bei den weiteren auf das jeweils vorherige beziehst.

 

[DeCaY4]

Ne das ist ja kein Beweis. Das zeigt nur die Richtigkeit für die eingesetzten Werte, aber nicht die allgemeine Gültigkeit. Vollständige Induktion ist hier natürlich das Mittel der Wahl

 

[siOu]

yo an vollständige induktion hab ich auch direkt gedacht, nur bin ich mir grad echt nicht im klaren wie ich diese auf "summe über k=0 bis n von 2^n*a²" anwenden soll/kann. bin irgendwie dran gewöhnt die vollständige induktion auf aussagen und nicht auf terme anzuwenden oO

 

[DeCaY4]

Naja allgemeine Vorgehensweise:
Zeige für Startwert n=0 oder 1
zeige dann für n+1 mit der Voraussetzung, dass es für n gilt

ich hab keine Lust, mir die Aufgabe durchzulesen, weil Du sie nicht grade verständlich geschildert hast.

 

[siOu]

http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~mmbw/bw1ws0607/Blatt2.pdf

aufgabe 2.3 ;-)

 

[DeViL]

Auch Bauingenieur, was?

 

[siOu]

tatsache^^

 

[DeViL]

Viel Spaß noch. Es wird noch besser :P

 

[siOu]

gehört halt dazu, mir gefällts.

 

[The_Company]

a) unbeschränkte Folge, ergo unbeschränkle Summe.
Folge für Quadrate ist Aq(n) = (a * sqrt(2)^n)² = a² * 2^n
Folge für Kreise ist Ak(n) = PI * (a/2 * sqrt(2)^(n+1))² = Pi/2 * a² * 2^n
b) einfache DIfferenz der einzelnen Folgeelemente, immernoch unbeschränkt.
B(0) = Aq(0)
B(n) = Aq(n) - Ak(n-1) = a² * 2^n - Pi/2 * a² * 2^(n-1) = (1 - Pi/4) * a² * 2^n
c) siehe b)
C(n) = Ak(n) - Aq(n) = Pi/2 * a² * 2^n - a² * 2^n = (Pi/2 - 1) * a² * 2^n

Schön, dass ich schon wieder wem die Hausaufgaben mache hier.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von siOu
folgende "figur" ist gegeben: ein quadrat mit der kantenlänge a in der mitte um den ein kreis verläuft, der durch alle 4 ecken des quadrates geht. um diesen kreis wiederum geht ein quadrat, welches den kreis an allen 4 seiten in dessen äussersten punkten berührt. das ganze geht dann halt unendlich lang weiter.

die aufgabe lautet dann halt, die summe aller flächen der quadrate anzugeben.

durch ausrechnen einiger erster quadrate kommt man für das erste auf a², das zweite 2a², das 3. 4a², das 4. 8a² usw...

ich selber würde jetz einfach sagen dass damit klar ist, dass sich die fläche für jedes weiter quadrat einfach verdoppelt. allerdings bin ich mir sicher, dass der mathematiker sagen wird, dass man die aussage nicht durch das einsetzen einiger zahlenbeispiele (man müsste dann quasi alle zahlen einsetzen?!?) bestätigen kann.

wie beweist man dass sich die fläche für jedes weitere quadrat verdoppelt?

Original geschrieben von siOu
http://www.mathematik.uni-dortmund....0607/Blatt2.pdf

aufgabe 2.3 ;-)

Ich glaube, du solltest die Aufgabe nochmal durchlesen Hinweis: Beachte das Wort einbeschrieben

 

[DeViL]

Original geschrieben von siOu
gehört halt dazu, mir gefällts.

Mir auch. Und Mathe mag ich sowieso

 

[siOu]

danke company, dass die folge so aussehen MÜSSTE ist mir auch klar, nur genau beweisen kann ichs nicht...und ohne den genauen beweis ist das aufstellen der summe/folge nur mutmaßung -__-

 

[voelkerballtier]

companys lösung der (original)aufgabe ist schlichtweg falsch, was daran liegt, dass dein verständis der aufgabe und damit auch deine wiedergabe im ersten post falsch ist.

Es geht um NACH INNEN geschachtelte Quadrate/Kreise - und deren Flächeninhaltsumme konvergiert durchaus

 

[siOu]

stimmt wohl, nur dann kommt man halt auf ne andere formel fuer die neue kantenlänge des jeweils inneren quadrats. und da wird man wohl wieder ne regelmäßigkeit erkennen, nur meine frage bleibt die, wie ich mathematisch beweisen kann, dass sich die kantenlängen bzw. die flächen der quadrate GENAU so wie vermutet verhalten.

 

[ISsToRm]

wie oft willst Du egtl "vollständige Induktion" hören bevor Du es glaubst bzw. anwendest?

Du vermutest eine Formel, Du beweist sie

müsstest Du doch in Aufgabe 1 genauso gemacht haben

 

[OgerMarcel]

[x^1-n+b+a] =/ 12

 

[FORYOUITERRA]

Original geschrieben von DeCaY4
Ne das ist ja kein Beweis. Das zeigt nur die Richtigkeit für die eingesetzten Werte, aber nicht die allgemeine Gültigkeit. Vollständige Induktion ist hier natürlich das Mittel der Wahl

du bist unheimlich dumm.
mit vollständige induktion zeigst du lediglich, daß deine these für eine unbestimmte zahl n aus den natürlichen zahlen gilt. jedoch folgt daraus nicht, daß die these auch für "unendlich" gilt, was zu zeigen die aufgabenstellung erfordert.

edit: gott, mal ein paar andere posts noch von dir durchgelesen, du bist echt unheimlich dumm.

 

[Busta_inaktiv]

Original geschrieben von MuchO_SpeeD
mit vollständige induktion zeigst du lediglich, daß deine these für eine unbestimmte zahl n aus den natürlichen zahlen gilt.

 

[DeCaY4]

Original geschrieben von MuchO_SpeeD


du bist unheimlich dumm.
mit vollständige induktion zeigst du lediglich, daß deine these für eine unbestimmte zahl n aus den natürlichen zahlen gilt. jedoch folgt daraus nicht, daß die these auch für "unendlich" gilt, was zu zeigen die aufgabenstellung erfordert.

edit: gott, mal ein paar andere posts noch von dir durchgelesen, du bist echt unheimlich dumm.

Ja hm ich sag mal wenn dein IQ höher als ~130 ist, ist deine Aussage gerechtfertigt. Ansonsten muss die Frage gestattet sein: laut wikipedia ist eine "Vollständige Induktion oder der „Schluss von n auf n + 1“ (...) eine mathematische Beweismethode, die üblicherweise eine Aussage für alle natürlichen Zahlen beweist (verallgemeinert). Sie funktioniert aber auch für allgemeinere Fälle (siehe unten)."

Hm. Wenn ich zeige, dass die These für n=0, 1 oder was auch immer gilt, und dann zeige (durch logische Umformungen), dass sie auch für n+1 gilt, was ja der Nachfolger von n ist, dann kann ich sagen, dass die These für alle natürlichen zahlen gilt oder etwa nicht?

Tja hm. Ich sag dir das nur ungern, aber ich vermute eher Du bist unheimlich dumm sorry

 

[EnimaN]

wie kommt ihr denn hier auf vollständige induktion? man muss doch nur den faktor herausfinden, um der ein quadrat beliebiger kantenlänge im nächsten interationsschritt vergrößert wird. Dann hat man eine geometrische folge für die flächen der einzelnen quadrate und die summe ergibt sich simple als geometrische reihe...

aber davon abgsehen ist die aufgabe doch sinnlos, da die fläche der einzelnen quadrate offensichtlich divergiert und damit die antwort unendlich lautet...

 

[The_Company]

w00t, nach innen, jetzt macht die Aufgabe aufmal auch Sinn.

Aber dann isses einfach + durch - ersetzen und die Potenzreihenkonvergenz anwenden.

 

[SvenGlueckspilz]

Original geschrieben von The_Company
w00t, nach innen, jetzt macht die Aufgabe aufmal auch Sinn.

Aber dann isses einfach + durch - ersetzen und die Potenzreihenkonvergenz anwenden.

Also bitte....

Das ist eine geometrische Reihe und keine Potenzreihe

 

[EnimaN]

ok nach innen macht schon mehr sinn, auch wenn der erste post imo nicht auf diese interpretation schließen lässt. trotz allem hat das nichts mit vollständiger induktion zu tun...

 

[SvenGlueckspilz]

Natürlich ist das vollständige Induktion. Auch wenn es klar ist, dass man bei jedem mal die neue Kantenlänge nur mit nem Faktor multiplizieren muss, wenn man das sauber beweisen will, kommt man um eine Induktion nicht herum.
Es sei denn du wertest "offensichtlich" als Beweis.

 

[voelkerballtier]

jeder der hier postet sollte vorher einfach mal die aufgabe lesen: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~mmbw/bw1ws0607/Blatt2.pdf (aufgabe 2.3)
insbesondere ist da keinerlei beweis gefragt sondern einfach reihe hinschreiben und ausrechnen - der threadersteller selbst hat das scheinbar komplett falsch verstanden und deshalb ist sein erstes posting auch mist
vollständige induktion hat bei der aufgabe nichts zu suchen

 

[SvenGlueckspilz]

Aha, man muss also jedesmal dabeischreiben, dass ein vollständiger Lösungsweg abgegeben werden soll? Wenn du sagst die Formel für die Kantenlänge des n-ten Quadrates ist soundso und willst das beweisen, geht das mit vollständiger Induktion, auch wenn die total simpel ist. Auch wenn du sagt, das man immer nur die Kantenlänge des alten Quadrates durch Wurzel(2) teilen musst, DAS IST schon eine vollständige Induktion.

 

[EnimaN]

dort steht "geben sie an" und da lernt man schon in der schule, dass da kein beweis gefordert ist.

außerdem beruht mein ansatz auf ähnlichkeitsbetrachtungen und da braucht man keine beweise. ich weiß ja nicht wie du beweise führst, aber hier ist es nun wirklich auf grund der ähnlichkeit "offensichtlich" und das reicht auch für einen beweis.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, ob man die Formel jetzt einfach hinschreibt oder sie noch beweisen soll, da kann man vielleicht drüber streiten. Wenn man das aber beweist, dann mit Induktion. Dir ist nur nicht klar, dass du im Prinzip eine vollständige Induktion gemacht hast.

 

[EnimaN]

ähm ich habe die definition der potenz genutzt - a * a = a²... das ist dann nicht zu beweisen, sondern halt definition. aber die diskussion führt zu nichts, da sie im prinzip nichts mit der aufgabenstellung zu tun hat.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, irgendwie drücke ich mich falsch aus oder du verstehst nicht was ich meine, deshalb schreib ich jetzt mal ganz konkret hin, wo da meiner Meinung nach die Induktion drinsteckt:

Also wir wollen die Kantenlänge, des n-ten Quadrates haben, da wir ja die Flächeninhalte brauchen, um sie summieren zu können.
Ich behaupte, wenn wir bei 0 anfangen zu zählen und das nullte Quadrat die Kantenlänge a hat, dann hat das n-te Quadrat die Kantenlänge x(n)=a*(1/Wurzel(2))^n. Das beweise ich jetzt mit vollständiger Induktion:
a = 0 ist klar.

n -> n +1
Die Kantenlänge x(n) des n-ten Quadrates sei also
x(n)=a*(1/Wurzel(2))^n nach Induktionsvoraussetzung.
Nach Pythagoras (das hier meintest du denke ich) erhält man die Kantenlänge des nächsten Quadrates x(n+1)=x(n)/Wurzel(2)=a*(1/Wurzel(2))^n / Wurzel(2)
= a*(1/Wurzel(2))^(n+1)

Du hast hier also den Induktionsschritt gemacht und auch wenn du es nicht dick unterstrichen hingeschrieben hast, ist das für mich trotzdem ne Induktion.

 

[EnimaN]

jo na klar weiß ich worauf du hinaus willst - trotzdem hat es doch in der aufgabe nichts zu suchen -.- aber es ist natürlich auch nicht falsch

 

[SvenGlueckspilz]

Ja die Induktion ist eigentlich so trivial, das braucht man nicht aufzuschreiben, aber ich finde es nützlich wenn man sich mal klar macht, was man im Prinzip gemacht hat.