Lol das kann man doch so nicht machen, oder?

[Brusko651]

Hab gerade in einem Mathematik Buch den folgenden Beweis gelesen:

"
Wir wollen beweisen, dass zwei Potenzreihen mit dem selben Entwicklungspunkt nur gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen gleich sind.

Also:
Falls es ein r>0 gibt mit

Summe(n=0 bis unendlich) a_n (z - z0)^n = Summe(n=0 bis unendl) b_n (z-z0)^n

für alle |z-z0|<r, dann ist a_n=b_n für alle natürlichen Zahlen n.
_______

Wir zeigen das mit vollständiger Induktion:

Wenn man z=z0 setzt, erhält man a_0=b_0.

Induktionsschritt:
Sei nun für irgendein M
a_n=b_n für alle n € {0,1,2,.....,M},
dann soll auch folgen a_M+1 = b_M+1.

Es gilt dann
Summe ( n=0 bis M) a_n (z-z0)^n = Summe (n=0 bis M) b_n (z-z0)^n

Also folgt sofort:
Summe ( n=M+1 bis unendlich) a_n (z-z0)^n = Summe(n=M+1 bis unendlich) b_n (z-z0)^n

Man kann hier (z-z0)^M+1 herausheben auf beiden Seiten.

(z-z0) ^(M+1) * Summe( n=M+1 bis unendl) a_n (z-z0)^(M+1-n) = (z-z0) ^(M+1) * Summe( n=M+1 bis unendl) b_n (z-z0)^(M+1-n)

Dies gilt für alle z mit |z-z0|<r. Für z != z0 ist der ausgeklammerte Faktor aber ungleich 0 also muss zwangsweise

Summe( n=M+1 bis unendl) a_n (z-z0)^(M+1-n) = Summe( n=M+1 bis unendl) b_n (z-z0)^(M+1-n)

Wie im Induktionsanfang folgt daraus aber für z=z0, dass a_N+1=b_N+1 und der Beweis ist fertig.
"
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ja lol! Man kann doch nicht zuerst sagen "z != z0" und dann im nächsten Satz z=z0 setzen. Die Gleichung, in der z=z0 gesetzt wurde, gilt doch nur für z!=z0.



edit:
ein fix wäre meiner Meinung nach, auf beiden Seiten einfach den Grenzwert lim(z -> z0) zu bilden.
Weil es wurde bereits auf den Seiten vorher bewiesen, dass Potenzreihen immer stetig sind.

 

[sesslor]

Der Beweis ist voelliger Mist. Der Induktionsschritt ist gar nicht zulaessig: nur weil fuer eine Reihe mit Ordnung n alle Koffizienten gleich sein muessen, gilt dies nicht fuer alle Koeffizienten bis n in einer Reihe mit Ordnung n+1.

Aber es geht doch viel einfacher: die n-te Ableitung an der Stelle des Entwicklungspunktes ist ja immer gerade der n-te Koeffizient der Reihe. Wenn die beiden Reihen ueberall gleich sein sollen, sind auch alle ihre Ableitungen gleich.

 

[Brusko651]

hmm, ich glaube du hast das falsch gelesen.
(Aber das ist meine Schuld, weil ich hab ihn ja auch nicht gerade schön aufgeschrieben, so ohne Latex und so)
Es geht eigentlich die ganze Zeit um die selben zwei Reihen (die eine mit den Koeffizienten a_n, die andere mit b_n.)

Ich glaube, wenn man im letzten Schritt nicht z=z0 setzt, sondern von beiden Seiten den lim(z->z0) bildet, dann müsste der Beweis schon funktionieren.
Auf die Art verwendet man auch die Bedingung, dass die Gleichheit für alle z aus einem ganzen Kreis mit dem Radius r gelten muss.

Aber sicher bin ich mir nicht, weil immerhin ist der Beweis so in einem Buch gestanden

 

[sesslor]

Das war mir schon klar, aber du kannst nicht erst (z-z0) wegkürzen und danach Null setzen. Den Beweis kannst du getrost in die Tonne kloppen denke ich.

 

[Lurchie]

Der Beweis ist ok wenn man schon weiß, dass Potenzreihen stetige Funktionen sind, d.h. die letzte Gleichung gilt wegen Stetigkeit auch für z0.

Da du das selbst erkannt hast: Wieso fragst du hier?

 

[Jesus0815]

*räusper*, das ist auch kein beweis, sondern eine induktion

 

[Brusko651]

jo, ich bin mir manchmal halt bei etwas ganz sicher, und dann komm ich drauf, dass es doch kompletter unsinn war, deswegen dachte ich mir, ich frag lieber mal die freundlichen Leute im Forum.

@kAiN: es ist ein Beweis durch vollständige Induktion

 

[FORYOUITERRA]

hab mir den beweis nun nicht durchgelesen.
aber: fallunterscheidung mit nem impliziten "die restlichen schritte gehen analog wie im ersten fall" vielleicht?

 

[SvenGlueckspilz]

Der Beweis ist ok wenn man schon weiß, dass Potenzreihen stetige Funktionen sind, d.h. die letzte Gleichung gilt wegen Stetigkeit auch für z0.

Da du das selbst erkannt hast: Wieso fragst du hier?

In Anbetracht des Threads über 0,9 Periode gebe ich dir zwar ungerne recht, aber richtig ^^