Lineare Algebra - Dachprodukt

[ROOT]

Mal wieder ein Mathethread von mir.
Wäre nett wenn mir jmd. helfen könnte da Montag Vordiplomsprüfung ist und ich nach 400 Seiten Skript durchpauken mittlerweile völlig verwirrt bin.

Es ist für V = IR³ {e1, e2, e3} eine ONB, also { e1^e2, e1^e3, e2^e3 } eine ONB des ^²V.


Wie sieht (1, 0, 1)* ^ (2, -1, 1)* aus ^²V bzgl. dieser Basis aus?
(* Spaltenvektoren).

Es ist (1, 0, 1)* = 1 * e1^e3; (2, -1, 1)* = 2 * e1^e3 - e2^e3.

=> (1,0,1)* ^ (2,-1,1)* = (1*e1^e3) ^ (2*e1^e3 - e2^e3) = e1^e3^2*e1^e3 - e1^e3^e2^e3 = 0 weil ^ alternierend.

Kann das sein? Was für einen Sinn macht diese Aufgabenstellung, wenn das Ergebnis sowieso 0 ist?
Auch bei den meisten anderen Dachprodukten würde man dann ja 0 als Ergebnis bekommen...

 

[Aule2]

Ein Dachprodukt ist ja eine altenierende Multilinearform, insofern ist die Erkenntnis, das das Dachprodukt häufig Null ist durchaus Sinnvoll

somit wäre es denkbar, das die Aufgabe dahinführen soll, eben eine Symmetrie zu finden, und damit direkt und schnell zur Null zu kommen!

Diese Zeiele verstehe ich nicht!
Es ist (1, 0, 1)* = 1 * e1^e3; (2, -1, 1)* = 2 * e1^e3 - e2^e3.
Der Isomorphismus sollte doch sein: e1 -> e1^e2,
e2 -> e1^e3, e3 -> e2^e3
Damit wäre das Element 101* =e1^e2 + e2^e3

Da ich mich aber Erinnere, dass das Dachprodukt im R^3 im wesentlichen das übliche Kreuzprodukt ist, bei dem hier keine Null rauskommt, sollte denke ich auch keine Null rauskommen

Allerdings hast Du mich wieder daran erinnert, warum und dass ich LA weder mag, noch Ahnung von habe...

 

[ROOT]

Ich denke mein Fehler wurde gefunden, da (1, 0, 1)* und (2, -1, 1)* Elemente des IR³ sind, und nicht des ^² IR³.

Sonst wäre auch das Produkt im (^)^4 IR³, welches ein Nullraum ist.