kurze dumme Frage (pq Formel -.-)

[Ronschk]

Aufgabe:
2x/(2x+x²)=10
Lösung: x1: -9/5
x2:0
letzteres passt natürlich nicht, kommt aber nach pq Formel raus. Hatten in der Oberstufe immer nen dummen TR, der alles gelöst hat... kanns sein, dass ich irgendwas dummes übersehen hab?

2x/(2x+x²)=10
2x=20x+10x²
0=x²+9/5x

und x1/x2= -p/2 (+/-) wurzel ((p/2)²-q)

(sorry für die Schreibweise, denke das ist aber noch so unkomplex, dass es geht

jedenfalls kommt für mich da -9/5 und 0 raus. why?

 

[m0rgan]

Was verstehst du nicht an der Aufgabe? Deine Lösungen sind richtig.
Es kann sein, dass die zweite Lösung unsinnig im Rahmen der Aufgabe ist. Dann kannst du diese streichen.

 

[Annihilator]

Diese Gleichung hat auch nur eine Lösung.
Du musst die x-Werte ausschließen, die eine Division durch 0 verursachen würden. D.h. x2=0 ist falsch.

 

[sweetie]

Deine Ursprungsgleichung besitzt nur die Lösung -9/5. Denn dort darfst du nicht x=0 einsetzen, da du sonst durch Null dividieren würdest. Also ist durch die Formulierung der Gleichung schon die Nulllösung ausgeschlossen.

Bei deiner umgeformten Gleichung 0=x²+9/5x existieren in der Tat zwei Lösungen, nämlich die obige und zusätzlich x=0.

Allerdings beschreibt diese Gleichung ein anderes Problem. Die Umformung, die du bis dahin durchgeführt hast, ist keine Äquivalenzumformung, da man bei einer "Rückwärtsumformung" von 0=x²+9/5x zu 2x/(2x+x²)=10 durch Null teilen müsste. Daher geht die Nulllösung beim Übergang zu deiner ersten Gleichung verloren.

Also kurz: Deine zweite Gleichung ist nicht äquivalent zur ersten. Das passiert immer dann, wenn man Nennernullstellen in einer Gleichung besitzt.

Graphisch sieht das übrigens so aus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2F%282x%2Bx^2%29%3D10
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B%289%2F5%29x%3D0

Daran sieht man auch ganz gut, dass beide Gleichungen etwas unterschiedliches aussagen.

 

[Ronschk]

okay danke

Apropos Umformungen:
Habe noch im Kopf, dass es (wie ja auch in diesem Fall) Lösungsmengenänderungen gibt bei bestimmten Umfomungen (/beim Kürzen?).
Hat jemand da ne Seite /Regeln oder so parat?

 

[drgun]

Nullstellen des Nenners raus. Die da wären:
2x + x² = 0
<=>
x*(2+x) = 0
<=>
x = 0 v x = -2

 

[ipskab]

leute kürzt doch den term
2x/(2x+x²)=10 --> 2/(x+2) =10

und jetzt sieht man doch zweifelsfrei, dass es nur eine lösung gibt, nämlich x= -1,8

 

[Ronschk]

ja, hab ich auch schon alles gemacht und so und ich hab auch erkannt, dass -9/5 die Lösung ist. Trotzdem bleibt die Frage nach oben beschriebenen regeln o.ä. bestehen

 

[mfb]

leute kürzt doch den term
2x/(2x+x²)=10 --> 2/(x+2) =10

und jetzt sieht man doch zweifelsfrei, dass es nur eine lösung gibt, nämlich x= -1,8

Schon das Kürzen setzt aber voraus, dass x!=0, sonst kann man damit auch nicht kürzen.

Anderes Beispiel:
2x²/(2x+x²)=0
Hier würdest du mit Kürzen zunächst mal x/(2+x)=0 erhalten und damit als Lösung x=0.
Tatsächlich hat diese Gleichung aber keine Lösung, da x=0 sowieso nicht Teil des Definitionsbereichs sein kann.

Kürzen ja - aber eben auch noch x=0 als Spezialfall behandeln.


Im Startpost ist die Gleichung anfangs nur für x=-9/5 erfüllt. Nach dem Multiplizieren mit 0 ist sie aber sicher erfüllt, daher erhält man x=0 als weitere Lösung der zweiten Gleichung.

 

[sweetie]

leute kürzt doch den term
2x/(2x+x²)=10 --> 2/(x+2) =10

und jetzt sieht man doch zweifelsfrei, dass es nur eine lösung gibt, nämlich x= -1,8

Ja, und warum durftest du kürzen? Genau um das Problem ging es doch!

Und was die 'Regeln' angeht: Generell musst du bei jeder Umformung darauf achten, ob diese eine Äquivalenzumformung ist oder nur in eine Richtung gilt.

Bsp:

x = 1 <=/=> x^2 = 1

Zwar gilt x = 1 => x^2 = 1, aber eben nicht x = 1 <= x^2 = 1, denn aus der rechten Seite kann auch x = -1 folgen.

Mit allgemeinen Regeln wird es daher schwer, allerdings sollte man generell immer vorsichtig sein, was Multiplizieren/Dividieren mit Null, Potenzieren (s.o.) oder Beträge in Umformungen anrichten. Dies sind so die gängigen Verdächtigen, was aber nicht heißt, dass es alle sind

 

[ipskab]

Schon das Kürzen setzt aber voraus, dass x!=0, sonst kann man damit auch nicht kürzen.

Anderes Beispiel:
2x²/(2x+x²)=0
Hier würdest du mit Kürzen zunächst mal x/(2+x)=0 erhalten und damit als Lösung x=0.
Tatsächlich hat diese Gleichung aber keine Lösung, da x=0 sowieso nicht Teil des Definitionsbereichs sein kann.

man sieht die funktion hat eine nullstelle, bei x=0.
natürlich muss man sich über den definitionsbereich im klaren sein, aber lass doch, wenn du die lösung x=0 gefunden hast, den limes mal gegen 0 der anfangsfunktion laufen!
--> 0/0 --> l'hospital anwenden --> lim(x->0) [4x/(2+2x)]=0

die polstellen (also nennernullstellen) wären hier x=-2 v x=0, wobei x=0 halt stetig behebbar ist

 

[DJT]

man sieht die funktion hat eine nullstelle, bei x=0.

Man sieht da überhaupt nichts, da die Koordinatenachsen darüber liegen. Du hast doch selber schön mit l'hospital ausgerechnet, dass an der Stelle x=0 eine Unstetigkeitsstelle erster Art existiert, also eine Lücke. Es ist aber in unserem Zusammenhang vollkommen egal ob man die Ursprungsfunktion über x=0 stetig fortsetzen kann.

Entscheidend war nur die Lösung obiger Formel und dabei hast du dir es mit "einfach Kürzen" zu einfach gemacht, da man sich erst einmal klar machen muss, was Kürzen eigentlich bedeutet. Nämlich, dass man eine Zahl mit ihrem multipikativ Inversen rausstreicht und durch das multiplikative neutrale Element (also in unserem Fall durch die 1) ersetzt. Nun ist es aber so, dass in den reellen Zahlen die Null kein solches Inverses besitzt ( 0^-1 existiert nicht), also kannst du auch nicht Kürzen. Sondern musst eine Fallunterscheidung durchführen:
für x != 0 => Kürzen und man erhält x=-9/5
für x = 0 => Funktion ist nicht definiert, also bleibt es bei nur einer Lösung.