Komposition konvexer funktionen

[crazyBlTCH]

Hallo,

folgendes Problem beschäftigt mich seit ein paar Stunden: Es gibt ja Sätze, wann entsprechende Kompositionen von vektorwertigen Funktionen f(g(x)) konvex sind (zB g konvex, f konvex und nichtfallend), allerdings habe ich bisher nur Varianten finden können, bei denen g R^k als Urbild hat. Ich habe nun den Fall, dass g von einem Funktionenraum (genauer gesagt einer konvexen Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen) in den R^2 abbildet (und f dann von R^2 nach R). Gibt es Sätze aus der Funktionalanalysis o.Ä., die aussagen darüber treffen, wann in dieser Situation die Komposition dann konvex ist? In was für Literatur könnte ich entsprechende Aussagen finden?

Vielen Dank schonmal

 

[ROOT]

Ich verstehe deine Frage, aber ich kenne die Antwort nicht.


Kannst dir ja evtl. mal die entsprechenden Sätze für den R^n anschauen und dir insbesondere im Beweis angucken, welche Eigenschaften genau benutzt werden.
Wenn nicht irgendwo explizit die Endlichdim. benutzt wird, sollten die Aussagen wahrscheinlich auch für beliebige Hilberträume gelten. R^n zu fordern ist eben meistens nur Bequemlichkeit.

 

[crazyBlTCH]

Habe ich bereits getan, leider wird die endlichdimensionalität durchaus ausgenutzt, insbesondere setzt man oE die Dimension = 1. Im Endeffekt läuft es darauf hinaus, dass man das Kriterium benutzt, dass die Hessematrix positiv definit sein muss. Allerdings kann man ja nicht so einfach Ableitungen definieren für allgemeine Funktionenräume (oder?). Leider habe ich ziemlich wenig ahnung von Funktionalanalysis, und in den Standardbüchern finde ich dazu nichts. Es gibt ja zB dieses Konzept der Gateaux-"Ableitungen", wäre es sinnvoll, sich das noch genauer anzuschauen?

 

[ROOT]

Gateaux-Differential ist eine Art Richtungsableitung im Banachraum, ansonsten kannst du ja selbst in Sobolevräumen noch mit schwachen Ableitungen arbeiten, wobei das schon stark verallgemeinerte Ableitungsbegriffe sind (erfüllen statt der Ableitung die partielle Integration).

Evtl. kannst du dich mal im Bereich der Variationsrechnung umsehen, bspw. werden zweite Variationen von Potentialen oder allgemeinen Funktionalen durchaus benutzt, die dürften schematisch deiner Hessematrix entsprechen.

Ist natürlich ein ziemlich mühsamer Weg der dir u.U. keinen Erfolg bringen wird... wofür brauchst du diese Konvexitätsaussage denn?

 

[crazyBlTCH]

Mit diesen Gateaux- bzw schwachen Ableitungen bekommt man aber vermutlich nicht Aussagen zu konvexität und "Ableitung größer 0" bzw postiv definitheit nehme ich an, oder?

Mit Variationsrechnung bin ich bei Vorlesungen zur Bildverarbeitung ein wenig in Kontakt gekommen, aber solche Aussagen sind mir dort nicht begegnet, hättest du da evtl Literaturempfehlungen?

Im Endeffekt brauche ich die Aussage als Lemma zu einem Theorem für meine Diplomarbeit in mathematischer Statistik, leider haben meine entsprechenden Betreuer bzw die Leute die ich bisher gefragt habe auch nur recht wenig Ahnung in dieser Richtung.

Hier nochmal genauer formuliert, was ich eigentlich brauche:

bzw: Wie kann man konkreter die Einschränkungen an h wählen?

 

[ROOT]

Hab da selber nie ein Buch benutzt, aber ich glaub der Klingbeil (Variationsrechnung) ist ziemlich gut.
Über Wahrscheinlichkeitsmaße weiß ich allerdings so gut wie nichts, hab nie eine VL über Statistik gehört.

Ansonsten würde ich vllt. mal bei einem Funktionalanalytiker oder verwandtem Spezialisten nachfragen, die können dir da wahrscheinlich noch eher helfen.

 

[sesslor]

Ich sags gleich, ich werd dir wahrscheinlich nicht helfen koennen, aber: was bedeutet "konvexe Klasse von Wahrscheinlichkeitsmassen", und was bedeutet "nicht-fallend" fuer die Funktion h?

 

[crazyBlTCH]

Habe jetzt mit noch ein paar mehr bedingungen an h (positiv "sub"-homogen) die aussage zeigen können, schränkt zwar die Klasse möglicher funktionen ziemlich ein, aber reicht für meine anwendungen. wenn ich nochmal zeit habe mich damit zu beschäftigen werde ich mir den klingbeil auf jeden fall mal anschauen. ansonsten danke soweit

 

[SvenGlueckspilz]

Ähm , ich weiß ja normalerweise, was nichtfallend bedeutet, aber h ist auf dem R^2 definiert, wie soll eine Funktion auf dem R^2 nichtfallend sein können? R^2 ist nicht angeordnet. Meinst du nichtfallend in den einzelnen Argumenten?

Edit:

Davon abgesehen, weiß ich nicht, was das mit Funktionalanalysis zu tun haben soll. Das ist eine simple Rechnung, falls du meinst, dass
h nicht fallend in beiden Argumenten ist:

h(g1(r p1 + (1-r) p2), g2(r p1 + (1-r) p2)) <= h(r g1(p1) + (1-r) g1(p2), r g2(p1) + (1-r) g2(p2)) da h in beiden Argumenten nichtfallend ist
Weiter mit ein bisschen umsortieren:
... = h(r (g1(p1), g2(p1)) + (1-r) (g1(p2),g2(p2))) <= r h(g1(p1), g2(p1)) + (1-r) h(g1(p2), g2(p2)) da h konvex ist. Fertig.

 

[crazyBlTCH]

nichtfallend in jeder komponente,

das "bisschen umsortieren" wird so nicht funktionieren, zumindest nicht, wenn h nicht linear (bzw ausreichend: sublinear) ist, oder wie meinst du das im detail? man kann ja nicht einfach terme beliebig in den komponenten von h verschieben

 

[SvenGlueckspilz]

Das hat nichts mit Linearität von h zu tun, ich habe lediglich die Gleichheit der beiden Vektoren aus dem R^2 festgestellt:

(r g1(p1) + (1-r) g1(p2), r g2(p1) + (1-r) g2(p2))
= r (g1(p1), g2(p1)) + (1-r) (g1(p2),g2(p2))

Also ist das auch gleich wenn ich beide Seiten in h einsetze. Ich habe da ja gar nichts aus h herausgezogen. Also brauch ich auch keine Linearität, für diesen Schritt brauch ich gar keine Eigenschaft von h, außer dass h auf dem R^2 definiert ist.

edit: Oder meinst du den Schritt danach? Das ist nur die Konvexität von h.

 

[crazyBlTCH]

in der tat, du hast recht, sorry. stand etwas auf dem schlauch. danke

 

[SvenGlueckspilz]

Keine Ursache

Solche Aussagen finden zwar in der Funktionalanalysis und Variationsrechnung Verwendung, allerdings nur als Hilfsmittel. Solange da keine unendlichdimensionalen Räume vorkommen, wirst du wahrscheinlich auch keine Funktionalanalysis brauchen, um das zu beweisen. Das ist mit Kanonen auf Spatzen schießen. Ich wende ja auch lieber abstrakte Resultate an, als etwas nachzurechnen. Ich hab aber gemerkt, dass man sich nicht vor dem Rechnen drücken darf, das muss man auch lernen. Man kann nicht immer alles schön abstrakt lösen ^^

 

[crazyBlTCH]

ja, das problem war eher irgendwie der entstehungsprozess dieser idee, da ich erst die ganze zeit diese allgemeine und leicht zu zeigende aussage für endlich dimensionale vektorräume statt P benutzt hatte und das dann entsprechend verallgemeinern wollte und daher versucht habe irgendwie den beweis zu verallgemeinern statt das einfach direkt nachzurechnen. lustigerweise meinten auch alle leute mit denen ich darüber gesprochen habe ich solle mal nach entsprechenden funktionalanalysissachen suchen statt es einfach nachzurechenen :-)

 

[SvenGlueckspilz]

Ja aber witzigerweise hängt die Aussage von P am allerwenigsten ab.
Ich hab ja gar nichts über die Wahrscheinlichkeitsmaße benutzt. Das kann irgendeine konvexe Menge sein und die Aussage gilt immer noch.
Und für Sachen wie Gateaux-Differenzierbarkeit bräuchtest du ja noch zusätzliche Voraussetzungen. Ich glaube, es ist meistens gut, wenn man die schweren Geschütze erst zuletzt auffährt

Achja, was ich noch Fragen wollte: Mathematische Statistik, was ist das für ein Studiengang? Ist das eine Variante vom normalen Mathematik-Studiengang oder eher eine Variante vom normalen Statistik-Studiengang?
Die Statistiker hier an unserer Uni dringen glaube ich jedenfalls nicht bis zur Funktionalanalysis oder so durch ^^

 

[crazyBlTCH]

studiengang ist normales mathematik diplom, diplomarbeit geht in richtung mathematische statistik, relativ anwendungsorientiert, hatte mich oben ggf schlecht ausgedrückt. dementsprechend habe ich in meinem studium in angewandter mathe abgesehen von ein bissche numerik quasi nur wtheorie und statistik sachen gemacht und eben keine funktionalanalysis

 

[SvenGlueckspilz]

Ah ok, darf man fragen, was dein Diplomarbeitsthema ist?