Komplexe Zahlen: Vollständige Induktion ; Beweis

[Jumbala]

Hey
Ich steh grade bei einer Beweisaufgabe mithilfe von vollständiger Induktion auf dem schlauch.

Zeigen sie durch Vollständige Induktion, daß

z^n = r^n(cos(n*€) + isin(n*€)) ,z element von C und n element von N

wenn z in der form z = r*(cos(€) + isin(€)) gegeben ist.

€ gibt einen winkel an (ich find hier keinen knopf für alpha oder ähnliches)

Das ist die Aufgabe.

Induktionsanfang kein problem, zeigen das für n=0 auf beiden seiten 1 rauskommt hat geklappt.
Als Hinweis sind die Additionstheoreme gegeben:

Beim Induktionsschritt habe ich mir gedacht, dass herauskommen muss:

Summe von k=0 bis n+1 ist gleich:
r^(n+1) * ( cos((n+1) * €) + isin((n+1) * €)

okay aber das auflösen bis dahin macht mir immense Probleme:

r^n*(cos(n*€) + isin(n*€)) + r^(n+1)*(cos(€) + isin(€))^(n+1 )

das wäre ja quasi der allererste Schritt.


Wie gehts dann weiter? kann mir wer helfen?

thx schonmal

 

[ROOT]

also wenn du dir mal die mühe machst das in ne lesbare form zu bringen mach ich mir vllt die mühe es nachzuvollziehen

 

[EnimaN]

Deine Idee ist doch richtig.
cos[(n+1)*€] = cos[n*€ + €] = cos[n*€]*cos[€] - sin[n*€]*sin[€]
das gleiche für den sinus

du musst eben nur den induktionsschritt zeigen. da du beide seiten kennst, ist das nicht besonders schwer.

 

[MesH]

Öhh? Wo kommt denn da die Summe in deinem angedachten Induktionschritt her (abgesehen davon, dass eine Summe ÜBER irgendwas gleich irgendwas anderes sein kann, aber eine Summe einfach gleich.. hm.. ) ?!

Du willst doch z^(n+1) = z^n * z = z^n = r^n (cos(n*\phi) + isin(n*\phi)) * r * (cos(\phi) + isin(\phi)), wobei deine gegebene Hypothese schon eingesetzt ist. Sehe da keinerlei Sinn für ne Summe. Dann musst du nur noch die Additionstheoreme verwursten und dann stehts meines Ermessens nach quasi direkt da da (mit dem Tipp von Eniman erst recht! ).

 

[EnimaN]

jo, die summe kommt rein, wenn du das ganze anders herum betrachtest:
z^n * z = z^(n+1) = r^(n+1) * ( cos[(n+1)*€] + i sin[(n+1]*€ )

manchmal ist es einfach den induktionsschritt von der anderen seite auflöst. aber im prinzip ists egal.

 

[Jumbala]

Ich hab meine rechnung mal eingescannt. ab da weiß ich nicht weiter.

Ist diese Aufgabe nicht so eine Produktwert Aufgabe?

 

[EnimaN]

erstens, du hast in den letzten beiden summand zwei imaginäre einheiten - da muss nur eine hin. zweitens musst du jetzt nur noch cos(€)+isin(€) ausklammern und dann wars das.

 

[Jumbala]

kannst du näher erläutern wie ich da cos(€)+isin(€) ausklammern kann? ich bekomme da doch krasse brüche wenn ich das mache :O

 

[EnimaN]

Rechne mal das produkt [cos(n€)+isin(n€)]*[cos(€)+isin(€)] aus.

Aus reinem interesse: Was studierst du?

 

[MesH]

Ansonsten, so als hilfreicher Tipp: Bei sowas ist es auch manchmal gut, sich hinzuschreiben, was man denn eigentlich haben mag, jedenfalls, solange man noch kein so gutes Auge dafür hat. Dann könnte man auch auf die Idee kommen, das Vorgeschlagene auszuklammern.

 

[Jumbala]

Soo ich denke ich habs jetzt. Vielen dank.

Wenn jemand noch so freundlich ist und einmal drüberschaut ob ich das so stehen lassen kann oder noch irgendwo fehler drin sind, wäre suuuuper nett



@ EnimaN Ich studiere Chemie, erstes semester^^ Ist ne aufgabe aus der Mathe übung.. Induktionsbeweise hatten wir in der schule nur einmal kurz angeschnitten aber nicht wirklich mit gearbeitet. Diese Produktwerte sind mir vollkommen neu. In der Mathe 1 Vorlesung haben wir die auch nicht behandelt ...

 

[PasswortUnsichtbar]

Da sind noch einige Fehler drin. Die beiden Produktsymbole auf der Mitte der Seite haben dort nichts zu suchen. Außerdem läuft deine Induktion formal gesehen genau falsch herum: Du solltest eigentlich mit z^{k+1} = z^{k} * z beginnen und dann die Induktionshypothese für den Ausdruck z^{k} verwenden, und nicht für z^{k+1}. Und noch ne Kleinigkeit: Mach aus dem "n" nen "k".

 

[Jumbala]

okay hab das jetzt soweit mal umgeändert, morgen ist übung also für mich klingt die lösung plausibel^^ danke!