größe von kugeln

[WhoLovesMe]

Kugeln definiert man ja, indem man sagt, dass es eine Form ist, bei dem alle Punkte gleichweit vom Mittelpunkt entfernt sind. Punkte haben bekanntlich keine größe und man braucht ohnehin unendlich viele Punkte, damit eine Kugel (ich rede von einer perfekten Kugel) eine Kugel ist und kein X-eder.

Wenn man nun unendlich viele Punkte braucht, müsste eine Kugel mit 12cm Durchmesser ja dennoch genauso groß sein, wie eine Kugel mit 16cm Durchmesser, oder?
Das geht aber doch nicht. Wie kann etwas, das aus genausovielen Bausteinen der gleichen Größe besteht größer oder kleiner sein, als das Andere?

Wie verhält sich das mit der Unendlichkeit? Diese ist ja eigentlich nicht definierbar.

 

[whispering Ghost]

geometrisch ist die fragestelleung undefiniert... ein punkt hat keine ausdehnung, aber in der kugel gibt es unendlich viele punkte... somit ergibt sich das kugelvolumen zu 0*(inf)... dieser ausdruck ist aber in der mathematik nicht eindeutig definiert, somit entsteht kein widerspruch daraus, dass die beiden kugeln unteschiedlich gross sind...

sobald es unendlich viele flächen werden, müssen sie zwangsläufig auch unendlich klein sein. und wenn etwas unendlich klein ist, kann man kein größenvergleich mehr anstellen.

 

[Matrixguy]

Definierst du die Größe einer Kugel durch die Anzahl darauf liegender Punkte? Du hast doch zwei unterschiedliche Durchmesser, also auch zwei unterschiedliche Volumen demnach also auch zwei Größen.

An der Unendlichkeit von Punkten kannst du keine Größen messen.
Stell dir eine Strecke von A nach B vor. Egal wie lang diese ist, du hast unendlich Punkte dazwischen.

 

[bog]

punkte haben keine ausdehnung. man kann auch unendlichviele punkte in ein elektron legen. dass alle punkte der oberflaeche der kugel gleichweit von der mitte entfernt sind bedeutet nicht mehr, als dass sie nur EINEN fixen durchmesser/radius hat.

 

[NacktNasenWombi]

auf einer 5cm langen grade liegen unendlich viele Punkte, auf einer 10cm langen gerade auch => sie sind gleichlang?

 

[sTyLe]

Es geht ja nicht um die Zahl der Punkte die draufliegen, sondern um den Abstand zwischen den 2 äußersten Punkten.

 

[Benrath]

und wieder ein wichtiges problem der MEnschheit gelöst auf bw.de

 

[HOAPT]

zudem ist unendlich nicht gleich unendlich, so ist 2*unendlich immernoch unendlich, aber größer als z.B. unendlich/2

 

[Kupferstecher]

Und die reellen Zahlen sind "unendlicher" als die natürlichen Zahlen Auch in der Mathematik ist unendlich nicht gleich unendlich, Stichwort Abzählbarkeit.

 

[Aule2]

Original geschrieben von HOAPT
zudem ist unendlich nicht gleich unendlich, so ist 2*unendlich immernoch unendlich, aber größer als z.B. unendlich/2

nope, hat die gleiche Mächtigkeit.

Potenzmengen haben unterschiedliche Mächtigkeiten zu den zugrundeliegenden Mengen ...

Und alles hat ne kleinere Mächtigkeit als omega.

 

[Matrixguy]

Original geschrieben von NacktNasenWombi
auf einer 5cm langen grade liegen unendlich viele Punkte, auf einer 10cm langen gerade auch => sie sind gleichlang?

http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade

 

[ChaP]

aber unendlich^2 > unendlich

 

[wutvolta]

nein

Unendlich ^2 = Unendlich = Unendlich/2

 

[Matrixguy]

Original geschrieben von wut)volta
nein

Unendlich ^2 = Unendlich = Unendlich/2

Behaupten kann das jeder

 

[Kupferstecher]

Original geschrieben von wut)volta
nein

Unendlich ^2 = Unendlich = Unendlich/2

Würde ich erstmal nur für abzählbar unendlich unterschreiben.

 

[Hendr1k]

Original geschrieben von wut)volta
nein

Unendlich ^2 = Unendlich = Unendlich/2

ja klar darum ist beim limes von x³ / x²
wenn X -> Unendlich läuft das Ergebnis Unendlich.
Nach deiner blöden Defintion müsste es aber 1 sein.

=> Ich vertraue meinen Mathelehrern mehr als dir

 

[wutvolta]

Original geschrieben von Hendr1k



ja klar darum ist beim limes von x³ / x²
wenn X -> Unendlich läuft das Ergebnis Unendlich.
Nach deiner blöden Defintion müsste es aber 1 sein.

=> Ich vertraue meinen Mathelehrern mehr als dir

Das was du geschrieben hast ist etwas grundlegend anderes als das was ich geschrieben habe.
also setz dich hin und Probiere es nochmal

ich habe NICHT gesagt das Limes x ---> Unendlich: X² = X ist.
und ja, bei der Mathematik geht es ums genaue hinsehen

 

[HOAPT]

du hast aber gesagt, dass unendlich^2/0,5*unendlich =1
und auch das wuerde nach meinem mathematischen verständnis eher bei unendlich landen...

 

[SvenGlueckspilz]

Original geschrieben von HOAPT
du hast aber gesagt, dass unendlich^2/0,5*unendlich =1
und auch das wuerde nach meinem mathematischen verständnis eher bei unendlich landen...

Unendlich kann man nicht durch unendlich teilen, das macht überhaupt keinen Sinn.
Unendlich kann man auch nicht mit einer Zahl multiplizieren oder quadrieren, das gibt es alles gar nicht.

Außerdem sollte man nicht Mengen mit unendlich vielen Elementen und Bildung von unendlichen Grenzwerten durcheinanderwerfen.
Wobei ich schwer davon ausgehe, dass nur Mathematik oder Physik-Studenten wissen, wie man die Mächtigkeit von einer Menge definiert.

 

[Freilandgurke]

Original geschrieben von HOAPT
zudem ist unendlich nicht gleich unendlich, so ist 2*unendlich immernoch unendlich, aber größer als z.B. unendlich/2

Das stimmt so nicht.
Ich versuch mal, das ganze "kurz" und verständlich zu erläutern:
1) endliche Mengen: Zwei Mengen heißen "gleich groß", wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben. Die Mengen {1,2,3} und {4,5,6} sind also zB. gleich groß weil jede 3 Elemente hat.

2) unendliche Mengen: hier hilft die Anzahl der Elemente nicht weiter (unendlich=unendlich gilt nicht immer, s. unten!), sondern man muß die "Größe" von 2 Mengen anders überprüfen. Man macht das, indem man Abbildungen sucht, die jedem Element der einen Menge eindeutig genau ein Element der anderen Menge zuordnen. Gibt es eine solche Abbildung, so sind 2 Mengen gleich mächtig. (im oberen Beispiel wäre die Abbildung 1->4, 2->5, 3->6 eine Möglichkeit) In der MAthematik nennt man Abbildungen zwischen 2 Mengen die diese Eigenschaft erfüllen bijektiv.

Hier einige Beispiele mit unendlichen Mengen:
Beispiel 1)
Menge 1: alle natürlichen Zahlen, also {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}
Menge 2: alle geraden natürlichen Zahlen, also {2, 4, 6, 8, 10, ...}
Auf den ersten Blick wird man vermuten, dass Menge 1 doppelt so mächtig ist wie Menge 2. Betrachtet man aber die Abbildung f: x->y,
y=2*x (wobei y ein Element aus Menge 2 und x ein Element aus Menge 1 ist), so stellt man fest, dass es zu jedem y aus Menge 2 genau ein x aus Menge 1 gibt, welches unter f auf y abgebildet wird. Die Mengen sind also gleich mächtig. (obwohl die eine Menge eine Teilmenge der anderen ist!!)

Beispiel 2)
Menge 1: das offene Intervall der reellen Zahlen von - pi/2 bis +pi/2, also ]- pi/2, +pi/2[
Menge 2: alle reellen Zahlen von -unendlich bis +unendlich, also ]-unendlich, +unendlich[
Hier scheint Menge 1 kleiner zu sein als Menge 2. Betrachtet man aber die Abbildung g: x->y, y=tan(x), so stellt man erneut fest, dass jedem Element aus Menge 2 eindeutig genau ein Element aus Menge 1 zugewiesen werden kann. Auch diese beiden Mengen sind also gleich mächtig. (zum Tangens siehe http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Tan.svg/800px-Tan.svg.png)

Beispiel 3)
Menge 1: Alle natürlichen Zahlen
Menge 2: Alle reellen Zahlen
Hier gibt es keine bijektive Abbildung. Es gibt also mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen obwohl beide Mengen unendlich viele Elemente haben.

 

[AdMiRaL]

Zuerst brauchst du die prophylaktische analyse der konfiguratorischen zirkulation der kugel, dazu musst du aber erstmal wissen wie der kausale amplitüdenwiederstand in der deklaration entsteht, substantiel gesehen kannst du auch einfach nur sagen : scheisse!

 

[Freilandgurke]

Öhm, wenn du konkrete Fragen hast dann kannst du die gerne stellen.

 

[JustaFreezer]

Beispiel 3 versteh ich nicht ganz. Kann man die 1 aus den natürlichen Zahlen nicht auf die 1 aus den reellen Zahlen abbilden, dann die 2 und so weiter?

 

[HOAPT]

beispiel 3 is mir auch nicht klar...
wenns unendlich viele nat. zahlen gibt, muss ja auch jeder reellen zahl eine natürliche zugeordnet werden können?

das das von meiner ursprünglichen position abweicht weiß ich, aber ich nehme mal an du hast mehr ahnung als ich

 

[Freilandgurke]

Original geschrieben von JustaFreezer
Beispiel 3 versteh ich nicht ganz. Kann man die 1 aus den natürlichen Zahlen nicht auf die 1 aus den reellen Zahlen abbilden, dann die 2 und so weiter?

Machen kann man das schon. Allerdings musst du bedenken, dass zB 1,5 oder sqrt(2)= 1,4142136... oder pi=3,1415927... zwar in der Menge der reellen Zahlen enthalten sind, nicht aber in der Menge der natürlichen Zahlen (die nur aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... besteht).
1,5 oder sqrt(2)= 1,4142136... oder pi=3,1415927... und viele andere Zahlen hätten also bei der von dir vorgeschlagegen Abbildung keine entsprechende natürliche Zahl welche auf sie abgebildet wird.

Beide Mengen haben unendlich viele Elemente. Es ist aber ein Irrtum zu glauben, dass unendlich=unendlich ist.
Die natürlichen Zahlen (und alle Mengen die die gleiche Mächtigkeit haben) nennt man abzählbar unendlich, weil man ihre Elemente der Reihe nach aufzählen kann (also 1, 2, 3, ...)
Die reellen Zahlen hingegen sind überabzählbar weil es nicht möglich ist, nach irgendeinem System alle reellen Zahlen nacheinander aufzuzählen. Selbst im Intervall von 0 bis 1 (oder einem beliebigen noch kleineren Intervall) sind schon mehr Zahlen drin als man aufsagen oder der Reihe nach aufzählen kann.

 

[The_Company]

Das Problem ist, dass Unendlichkeit gar nicht einfach im Kopf zu begreifen ist. Selbst Abzaehlbarkeit nicht. Ich hab dafuer im Studium auch nen paar Semester gebraucht.

Das erste was man begreifen muss, ist das Unendlich nicht ne Zahl wie 1 oder 2 ist, wenn's hoch kommt so eine wie 0, eigentlich isses aber gar keine Zahl. Man kann mit Unendlcih zB nicht rechnen wie mit gewoehnlichen Zahlen. (Mit 0 kann man auch nicht alles machen, man kann zB nicht durch 0 teilen.)

Unendlich kann man sich ungefaehr so vorstellen: Wenn ich mir eine Zahl Y aussuchen kann, und mein X immer noch groesser ist, dann ist X unendlich.
Und dann rechnet man mit X anstatt mit unendlich, und dann kommt da auch Sinn in die ganzen Rechnungen. Denn wenn X groesser als jedes Y ist, dann ist 2*X auch groesser als jedes Y. Und wenn X groesser als jedes Y ist, dann ist X/2 auch groesser als jedes Y, denn sonst hattee ich ja gleich 2*Y genommen. Das gleiche fuer Potenzen und was weiss ich.

Leute die wissen, wovon sie reden, kuerzen diese komplizierten Formulierungen dann ab und sagen unendlich/2 = unendlich usw.

 

[HOAPT]

und dank diesem thread gehöre ich auch dazu

 

[SvenGlueckspilz]

Original geschrieben von Freilandgurke


Man macht das, indem man Abbildungen sucht, die jedem Element der einen Menge eindeutig genau ein Element der anderen Menge zuordnen. Gibt es eine solche Abbildung, so sind 2 Mengen gleich mächtig. (im oberen Beispiel wäre die Abbildung 1->4, 2->5, 3->6 eine Möglichkeit) In der MAthematik nennt man Abbildungen zwischen 2 Mengen die diese Eigenschaft erfüllen bijektiv.

Also das ist schonmal falsch, jede Abbildung von M nach N ordnet jedem Element von M eindeutig genau eines von N zu. Das ist gerade die Definition einer Abbildung
Auch die Abbildung 1->1, 2->1, 3->1 wobei M=N={1,2,3}
Die Abbildung ist aber weder injektiv noch surjektiv und erst recht dann nicht bijektiv.

Original geschrieben von Freilandgurke


Es kommt aber auch vor, dass zwei überabzählbare Mengen unterschiedliche Mächtigkeit haben (zB die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen), das wird jetz aber wohl zuviel.

Das stimmt auch nicht.
Die reellen Zahlen und die komplexen haben die gleiche Mächtigkeit. Es gilt sogar allgemeiner |MxM|=|M|
und C und R² haben ja wohl die gleiche Mächtigkeit.

 

[Freilandgurke]

Original geschrieben von SvenGlueckspilz
Also das ist schonmal falsch, jede Abbildung von M nach N ordnet jedem Element von M eindeutig genau eines von N zu. Das ist gerade die Definition einer Abbildung
Auch die Abbildung 1->1, 2->1, 3->1 wobei M=N={1,2,3}
Die Abbildung ist aber weder injektiv noch surjektiv und erst recht dann nicht bijektiv.

Das ist mir bewusst. Ich habe absichtlich nicht die Lehrbuchdefinition für Bijektivität verwendet, da ich den Text einfach halten wollte und nicht weiß wie man hier Bilder hochläd.
Ich habe stattdessen versucht das von dir gesagt zu berücksichtigen, indem ich darauf verzichtet habe, in meiner "Definition" zwischen Urbildmenge und Bildmenge zu unterscheiden. Ich muß allerdings zugeben, dass die Formulierung "...die jedem Element der einen Menge eindeutig genau ein Element der anderen Menge zuordnet..." verschiedene Interpretationen zulässt. Deshalb auch das Beispiel um zu veranschaulichen, was ich damit meine

Original geschrieben von SvenGlueckspilz
Es gilt sogar allgemeiner |MxM|=|M|.

Sorry, ich dachte das gilt nur für abzählbare Mengen. Es ist aber möglich, dass ich mich täusche, da diese Übungsaufgabe viele km entfernt liegt und ich mir grad nicht mehr sicher bin wie der Beweis ging. Dann streich ich das mal lieber. Falls du eine konkrete Abbildung kennst die R bijektiv auf RxR abbildet, dann wärs nett, wenn du die hier posten könntest.
Danke für den Hinweis.

 

[SvenGlueckspilz]

Hmm ne kenne ich leider nicht, ich weiß auch gar nicht, ob man so eine explizit kennt oder ob nur die Existenz bewiesen ist. Es gibt aber die sogenannte Peano-Kurve, die eine stetige surjektive Abbildung von R nach R² ist. Die ist zwar nicht bijektiv, aber wenn es eine surjektive Abbildung von M nach N gibt, dann folgt daraus, dass die Kardinalität von N höchstens so groß ist wie die von M, also |M| >= |N| Das ist äquivalent dazu, dass es eine injektive Abbildung von N nach M gibt. Es gibt also eine injektive Abbildung von R² nach R und von R nach R² sowieso, also auch eine bijektive dazwischen (das ist nicht klar, aber das
Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem )
http://de.wikipedia.org/wiki/Mächtigkeit_(Mathematik)

 

[Freilandgurke]

k, du hast mich überzeugt. Da lag ich falsch. Danke nochmal.

 

[KeyserSoze]

Original geschrieben von Benrath
und wieder ein wichtiges problem der MEnschheit gelöst auf bw.de

lol, geil, was alles auf bw.de alles kommt ^^

 

[EnimaN]

interessant ist vielleicht noch, dass die rationalen (nicht die reellen!!!) zahlen gleichmächtig zu den natürlichen zahlen sind - obwohl zwischen jeder natürlichen zahl unendlich viele rationale zahlen liegen (das gilt sogar für zwei beliebige rationalen zahlen)

 

[Kupferstecher]

Endlichdimensionale Vektorräume über abzählbaren Körpern sind auch abzählbar, also gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen. Das wird immer besser.

 

[Spanzdolf]

Außerdem gilt: 2+2=6 für genügend großes 2

 

[SvenGlueckspilz]

Aber nur für hinreichend kleine 6!