GMat Mathe aufgabe

[Eeth]

: When n is divided by 24 the remainder is 15. What is the remainder when (n^3 – 5) is divided by 9?


großartig
ich komm net druff.

 

[FrauMotte]

n = (k*24 + 15)

n^3 = (k*24 + 15)^3
. . . = k^3 + 3*k^2*24 + 3*k*24^2 + 24^3
. . . = k^3 +72*k^2 + 1728*k + 13824

72,1728 und 13824 sind durch 9 ohne rest teilbar, interessieren uns also nicht.

(k^3-5) / 9 ergibt für k>0 anscheinend immer 4 als rest.

 

[ROOT]

Original geschrieben von Frau.Motte
n = (k*24 + 15)

n^3 = (k*24 + 15)^3
. . . = k^3 + 3*k^2*24 + 3*k*24^2 + 24^3
. . . = k^3 +72*k^2 + 1728*k + 13824

72,1728 und 13824 sind durch 9 ohne rest teilbar, interessieren uns also nicht.

(k^3-5) / 9 ergibt für k>0 anscheinend immer 4 als rest.

(k*24 + 15)^3 =/= k^3 + 3*k^2*24 + 3*k*24^2 + 24^3

 

[voelkerballtier]

n^3 = (k*24 + 15)^3
... = (24k)^3 + 3 * (24k)^2 * 15 + 3 * 24k * 15^2 + 15^3
... = 24^3 * k^3 + 25 920 * k^2 + 16 200*k + 3 375

Da jeder der Faktoren durch 9 teilbar ist, ist also n^3 mod 9 = 0 und damit (n^3 - 5) mod 9 = 4

 

[Didier]

Das geht auch leichter:

n^3=[3*(8k+5)]^3=27*(8k+5)^3 -> offensichtlich durch 9 teilbar.