Eine Matheaufgabe... und 2 Briefumschläge

Antrax4

Guest
An alle Hobbymathematiker und solche, die es werden wollen (Anm.: Ein wenig Grundwissen in Stochastik wäre nicht schelcht):





Die Situation

Du erhälst von deiner Nachbarin 2 Briefumschläge. Sie teilt dir mit, dass in einem Umschlag doppelt soviel Geld ist wie in dem anderen. Dann fügt sie hinzu: In dem linken Briefumschlag sind 50 € drin.


1.Frage
Welchen Briefumschlag nimmst du?


Antwort
-Den Rechten. Denn du kriegst mit 50%iger Wahrscheinlichkeit 100 € (also doppelt so viel), und mit 50%iger Wahrscheinlichkeit 25 €(also halb so viel), --> im Schnitt also 62,5 €, während in dem linken "nur" 50 € waren. => Der rechte Umschlag ist günstiger als der linke.


Die Verallgemeinerung
Doch die Nachbarin hätte genausogut hinzufügen können: Im linken Umschlag sind 60, 70, 100, ... oder x €(anstatt 50 €). Im Schnitt wären dann im anderen Umschlag immer mehr Euro, wie jeder durch einfache Rechnung bestätigen kann.

=> Egal welcher Betrag im linken Umschlag ist, der Rechte wird günstiger sein. (A)


Das Problem
Dieselbe Überlegung kann man machen, wenn man animmt, dass im rechten Umschlag y € sind. Es folgt ebendso:

Egal, welcher Betrag im rechten Umschlag ist, der Linke wird günstiger sein. (B)
Aber (A) und (B) bilden einen Widerspruch.

Die Aufgabe
Wie löst sich nun dieses Paradoxon?


Anmerkung: Bitte keine blöden Antworten ala "Ich guck einfach, welcher Umschlag schwerer ist" oder "Ich habe keine Nachbarin", usw. ...
Dieses Problem soll ganz "abstrakt" betrachtet werden und auch genauso gelöst werden.

MfG
Antrax
 
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Deine Aufgabenstellung legt als erstes zugrunde, dass wir 2 Geldbeträge x und 2x haben.
Diese werden per Zufall auf 2 Umschläge verteilt.
Mehr Informationen hast du nicht.

Du gehst aber davon aus, dass im linken exakt y seien und im anderen entsprechend 2y oder 1/2y - das kannst du aber nur mit einer Fallunterscheidung für y machen.
Im Fall, dass der Linke x enthält ist dein y=x und du erhältst bei der Wahl des linken Umschlags x.
Im 2ten Fall, dass der Linke 2x enthält, ist dein y=2x und du erhältst bei der Wahl des linken Umschlags 2x.
Beide Fälle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, also erhältst du im Schnitt 1.5x.

Das Problem an deinem Gedankengang ist, dass du durch die gewählte Nomenklatur festlegen willst, dass die Gesamtmenge des Geldes höher ist, wenn im rechten Mehr ist:
Du sagst im linken Umschlag ist y, dann ist im rechten entweder 1/2y oder 2y - wenn rechts mehr drin ist, wären also insgesamt 3y im Spiel, sonst nur 1.5y. Dann ist natürlich die Wahl des rechten Umschlags besser, da, wenn er mehr enthält, die Gesamtmenge größer ist.
Du legst mit y eine unbekannte Konstante fest, wo du eigentlich nur mit Variablen arbeiten dürftest - deine Fallunterscheidung ist nicht präzise.
 

Antrax4

Guest
Original geschrieben von ~XantoS~
Deine Aufgabenstellung legt als erstes zugrunde, dass wir 2 Geldbeträge x und 2x haben.
Diese werden per Zufall auf 2 Umschläge verteilt.
Mehr Informationen hast du nicht.

Du gehst aber davon aus, dass im linken exakt y seien und im anderen entsprechend 2y oder 1/2y - das kannst du aber nur mit einer Fallunterscheidung für y machen.
Im Fall, dass der Linke x enthält ist dein y=x und du erhältst bei der Wahl des linken Umschlags x.
Im 2ten Fall, dass der Linke 2x enthält, ist dein y=2x und du erhältst bei der Wahl des linken Umschlags 2x.
Beide Fälle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, also erhältst du im Schnitt 1.5x.

Das Problem an deinem Gedankengang ist, dass du durch die gewählte Nomenklatur festlegen willst, dass die Gesamtmenge des Geldes höher ist, wenn im rechten Mehr ist:
Du sagst im linken Umschlag ist y, dann ist im rechten entweder 1/2y oder 2y - wenn rechts mehr drin ist, wären also insgesamt 3y im Spiel, sonst nur 1.5y. Dann ist natürlich die Wahl des rechten Umschlags besser, da, wenn er mehr enthält, die Gesamtmenge größer ist.
Du legst mit y eine unbekannte Konstante fest, wo du eigentlich nur mit Variablen arbeiten dürftest - deine Fallunterscheidung ist nicht präzise.


Hä???
 
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Meine Fresse - als ob das so schwer zu verstehen ist... DU hast doch verlangt, das Ganze möglichst abstrakt zu formulieren?!

Nochmal, vielleicht ein wenig vereinfacht:

Dein Fehler ist, dass dein Modell von einer fixen Summe im linken Umschlag ausgeht und im rechten entweder die Hälfte oder das Doppelte davon ist.
DANN ist im Schnitt in der Tat im rechten Umschlag mehr Geld.

Deine ursprüngliche Aufgabenstellung weicht jedoch davon ab - sie sagt nur, dass in einem Umschlag ein Betrag x liegt und im anderen Umschlag ein Betrag 2x - also doppelt so viel.
Das ist _nicht_ das Gleiche.
Anschaulich wird das Ganze dadurch, dass wir davon ausgehen können, dass der Gesamtbetrag in den beiden Umschlägen identisch ist - schliesslich wird das Geld da nicht hineingebeamt.

Du hingegen machst den Fehler, die Gesamtmenge abhängig davon zu machen, in welchem Umschlag mehr Geld ist - bei deinem 50€-Beispiel ist einmal die Gesamtmenge = 150€ und einmal = 75€...
Das ist ein klassischer Fehler in der Stochastik, entfernt verwandt mit dem Anfängerfehler beim Ziegen- bzw. 3-Tore-Problem.
 

Benrath

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ist das nicht egal bei seiner rechnung ob sage dass der eine umschlag 50€ und der andere 2x50€ enthölt

oder y und der andere 2y tut der rechnung doch nix .. dann nimmst du immer ncoh den anderen
 
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DIe lösung ist falsch. Du gehst im rechten umschlag im schnitt von mehr geld aus. Es gibt aber in diesm fall keinen Schnitt.
Entweder es sind 100€ oder 50€ darin aber nicht beides und somit auch kein Schnitt.
 

Antrax4

Guest
Original geschrieben von ~XantoS~
Meine Fresse - als ob das so schwer zu verstehen ist... DU hast doch verlangt, das Ganze möglichst abstrakt zu formulieren?!

Nochmal, vielleicht ein wenig vereinfacht:

Dein Fehler ist, dass dein Modell von einer fixen Summe im linken Umschlag ausgeht und im rechten entweder die Hälfte oder das Doppelte davon ist.
DANN ist im Schnitt in der Tat im rechten Umschlag mehr Geld.

Deine ursprüngliche Aufgabenstellung weicht jedoch davon ab - sie sagt nur, dass in einem Umschlag ein Betrag x liegt und im anderen Umschlag ein Betrag 2x - also doppelt so viel.
Das ist _nicht_ das Gleiche.
Anschaulich wird das Ganze dadurch, dass wir davon ausgehen können, dass der Gesamtbetrag in den beiden Umschlägen identisch ist - schliesslich wird das Geld da nicht hineingebeamt.

Du hingegen machst den Fehler, die Gesamtmenge abhängig davon zu machen, in welchem Umschlag mehr Geld ist - bei deinem 50€-Beispiel ist einmal die Gesamtmenge = 150€ und einmal = 75€...
Das ist ein klassischer Fehler in der Stochastik, entfernt verwandt mit dem Anfängerfehler beim Ziegen- bzw. 3-Tore-Problem.

Meine Vorgehensweise ist durchaus legitim.

Wenn ich dem rechten Umschlag den Betrag Y zuordne, hat der Linke den Erwartungswert E[X] = 0,5*(0,5Y) + 0,5*(2Y) = 1,25Y.

Genauso ergibt sich E[Y]= 1,25X

Du kannst Y und X gerne als Zufallsvariablen, also Abhängige einer anderen "Veränderlichen" w sehen(falls ich das jetzt richtig verstehe, ist es das, was du wolltest), aber das ändert nichts an der Legitimität dieser Rechnung.

MfG
Antrax
 

Aule2

Guest
bleiben wir noch einmal konkret:

X sei rechte Hand wird gewählt, Y sei linke Hand wird gewählt.

Aussage: In der Rechten Hand liegen a Euros
=> E(X) = a
=> E(Y) = 1.25*a

Also wechseln.

Aussage In der linken Hand liegen b Euros
=> E(Y)= b
=> E(X) = 1.25*a
Also auch wechseln.

Das Paradoxe kommt Dadurch zu Stande, dass Du annimmst, das für Deine Paradoxe entscheidung die Aussage nicht mehr gegeben ist, wodurch sich Deine gesammten überlegungen als irrelevant herausstellten, weil ohne Aussage der Erwartungswert E(X)=E(Y)=Gesammtgeld halbe ist.
 
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Original geschrieben von Antrax


Meine Vorgehensweise ist durchaus legitim.

Wenn ich dem rechten Umschlag den Betrag Y zuordne, hat der Linke den Erwartungswert E[X] = 0,5*(0,5Y) + 0,5*(2Y) = 1,25Y.

Genauso ergibt sich E[Y]= 1,25X

Du kannst Y und X gerne als Zufallsvariablen, also Abhängige einer anderen "Veränderlichen" w sehen(falls ich das jetzt richtig verstehe, ist es das, was du wolltest), aber das ändert nichts an der Legitimität dieser Rechnung.

MfG
Antrax

DU bist erst derjenige, der das Ganze abstrakt haben wollte, auf meine entsprechende Antwort aber nur ein desinteressiertes "Hä`???" übrig hatte.
Daraufhin wurde ich ein wenig beispielhafter, was du mir jetzt wieder vorwirfst, indem du "dennoch", also das Beispiel überschreibend" wieder mit der angeblichen Logik deines Tuns ankommst, was nichts anderes als eine Wiederholung deines Standpunktes ist.

Wenn du es raffen willst, dann lies es gründlich nach und denke - oder ich erklärs dir morgen im TS oder Skype - so aber macht das keinen Sinn mehr.
 

Myxomat

Guest
Das Problem ist ganz einfach das, dass du zwei unterschiedliche Fälle betrachtest: Im einen Fall hast du einen Umschlag mit 50 und einen mit 25. Im anderen Fall hast du einen Umschlag mit 50 und einen mit 100.

Um diesen Fehler zu vermeiden, musst du das ganze ohne konkrete Beträge formulieren: Du hast einen Umschlag mit x, und einen zweiten Umschlag mit 2x. Deine Nachbarin zeigt dir einen der beiden in welchem sich der Betrag y befindet. Im anderen Umschlag befindet sich der unbekannte Betrag z.

Die Wahrscheinlichkeit P(y=x) = P(y=2x) = 1/2.
Daraus folgt, dass P(z=2x) = 1 - P(y=2x) = 1/2.

Resultat: Es macht statistisch keinen Unterschied welchen der beiden Umschläge du wählst.

(Das selbe haben dir auch Xantos und Antrax gesagt. Ich denke aber meine Formulierung ist einfacher zu verstehen.)
 
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das liebe ich an stochastik.. jeder behauptet was anderes und am ende zieht man dann 25€ bzw 0.5x :D

ok ich war in stochastik nicht wirklich gut aber ich würd das ganze net so kompliziert sehen°° da er eh nur einmal wählen kann, kann er sich auf seinen mittelwert ein eis backen -> 50:50 Chance, entweder joker oder arschkarte
 
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Original geschrieben von pApAsChLuMpF
das liebe ich an stochastik.. jeder behauptet was anderes und am ende zieht man dann 25€ bzw 0.5x :D

ok ich war in stochastik nicht wirklich gut aber ich würd das ganze net so kompliziert sehen°° da er eh nur einmal wählen kann, kann er sich auf seinen mittelwert ein eis backen -> 50:50 Chance, entweder joker oder arschkarte

Meine Güte, diese Herangehensweise hat Antrax schon im ersten Post gebracht - es ging darum, eine andere (falsche) Methode zu falsifizieren, und das ist eben nicht mit deinem toll ausgedachten Ansatz zu leisten..
 

EmPi~LiZarD

Guest
Also ich konnte Mathe schon immer sehr wenig abgewinnen, aber man kann ERNSTHAFT bei einer solchen 50-50 Chance ausrechnen in welchem Umschlag mehr ist ?

Ich mein, mein normaler Verstand sagt mir

Linker Umschlag : 50 Euro

In einem der beiden Umschläge ist doppelt soviel wie in dem anderen

D.h. entweder rechter Umschlag : 100 Euro d.h. -> im rechten war doppelt soviel wie im linken.

Oder im rechten sind 25 Euro d.h. -> im linken war doppelt soviel wie im rechten.

Und das kann man mathematisch jetzt irgendwie beweisen? :confused:

Ich stell mir viel lieber die Situation vor : Die Nachbarin kommt, zeigt einem 2 Umschläge, sagt die Situation und ich sag ich dann "moment ich rechne mal die wahrscheinlichkeit aus in welchem Umschlag mehr ist..". Ich glaub die alte würd mich sehr dämlich angucken und direkt wieder gehn :D
 
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Original geschrieben von EmPi~LiZarD
Ich stell mir viel lieber die Situation vor : Die Nachbarin kommt, zeigt einem 2 Umschläge, sagt die Situation und ich sag ich dann "moment ich rechne mal die wahrscheinlichkeit aus in welchem Umschlag mehr ist..". Ich glaub die alte würd mich sehr dämlich angucken und direkt wieder gehn :D

So ein ausgemachter Unsinn - jedes Glücksspiel, in dem man auch eine Strategie verfolgen kann (in dem also bestimmte Entscheidungen den eigenen Erwartungswert beeinflussen), leben von solchen Wahrscheinlichkeitsberechnungen.
Nur weil du damit nichts anfangen kannst heisst nicht, dass es unnormal wäre, solche Berechnungen anzustellen.

Und nochmal: Niemand hier hat ernsthaft (ausser vielleicht Antrax) behauptet, dass der Erwartungswert unterschiedlich sei - es ging rein um ein stochastisches Scheinparadoxon ähnlich dem Ziegenproblem.
 

EmPi~LiZarD

Guest
Gott Xant.. genau...

Du willst das ganze jetzt als Glücksspiel definieren und sozusagen auf eine Ebene mit z.B. Poker setzen?

Wenn die Nachbarin (oder irgendwer) zu einem ankommt, dir die möglichkeit gibt ohne jedlichen Einsatz an Geld zu kommen, dann ist es doch wohl total unlogisch dort noch großartige überlegungen zu machen. Wenn derjenige/diejenige die diese Möglichkeit gibt, hat er/sie sicherlich keinen Bock noch großartig zu warten bis du deine Wahrscheinlichkeits Kacke ausgerechnet hast. Zeit ist Geld. Bestes Beispiel, dieser Dreck auf 9Live oder so, wenn man sich da Umschläge aussuchen kann, wo man vorher auch weiß wieviele max und min in einem Umschlag sind. Wenn du dem Kerl da sagst, gib mit bitte noch paar Minuten bis ich es ausgerechnet habe, dann hängen die vom Sender auf und du bist weg und stehst mit leeren Händen da.

Poker oder sonstwas, das kann man strategisch hinterlegen, aber son scheiß mit 2 umschlägen, großartig eine Strategie ausdenken und rumrechnen, das ist purer Unsinn einfach nur.

Aber gut, wenns Leute gibt die sich damit ernsthaft beschäftigen, dann viel Spaß dabei... wollte lediglich wissen ob man da ernsthaft vorteile bekommen kann durch irgendne dumme rechnerei...
 
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Gießem
"dumme rechnerei" ist es sicherlich nicht, aber ich mochte auch noch nie stochastik, wobei es doch ziemlich interessant ist ^^
 

EmPi~LiZarD

Guest
Ja gut, wenn man sich dafür begeistern kann, dann ist es keine dumme rechnerei... Sage das nur für mich selber, hab schon soviel Mathe Zeugs gesehen wo ich mich frage, wofür zum Teufel ich es jemals im Leben brauchen werde wenn ich nit grad Lehrer werden will... Aber wie gesagt, wems Spaß macht.... Man kanns halt nur vollkommen übertreiben find ich..
 
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Original geschrieben von EmPi~LiZarD
Gott Xant.. genau...

Du willst das ganze jetzt als Glücksspiel definieren und sozusagen auf eine Ebene mit z.B. Poker setzen?

Wenn die Nachbarin (oder irgendwer) zu einem ankommt, dir die möglichkeit gibt ohne jedlichen Einsatz an Geld zu kommen, dann ist es doch wohl total unlogisch dort noch großartige überlegungen zu machen. Wenn derjenige/diejenige die diese Möglichkeit gibt, hat er/sie sicherlich keinen Bock noch großartig zu warten bis du deine Wahrscheinlichkeits Kacke ausgerechnet hast. Zeit ist Geld. Bestes Beispiel, dieser Dreck auf 9Live oder so, wenn man sich da Umschläge aussuchen kann, wo man vorher auch weiß wieviele max und min in einem Umschlag sind. Wenn du dem Kerl da sagst, gib mit bitte noch paar Minuten bis ich es ausgerechnet habe, dann hängen die vom Sender auf und du bist weg und stehst mit leeren Händen da.

Poker oder sonstwas, das kann man strategisch hinterlegen, aber son scheiß mit 2 umschlägen, großartig eine Strategie ausdenken und rumrechnen, das ist purer Unsinn einfach nur.

Aber gut, wenns Leute gibt die sich damit ernsthaft beschäftigen, dann viel Spaß dabei... wollte lediglich wissen ob man da ernsthaft vorteile bekommen kann durch irgendne dumme rechnerei...

Damit zeigst du, dass du den Thread überhaupt nicht verstanden hast.
Zum 10ten Mal: Es geht hier NICHT darum, ob bei dem Szenario mit Nachbarin und 2 Umschlägen Stochastik irgendwas bringt - denn intuitiv ist jedem die Lösung da bereits bekannt, nämlich: Der Erwartungswert ist gleichverteilt, die Entscheidung also beliebig.
Des weiteren geht es NICHT darum mit irgendwelchen pseudorealistischen "Die Nachbarin hat keinen Bock zu warten"-Phrasen anzukommen und sich damit schlauer zu fühlen als der Rest der Debattanten - denn Letztere haben wenigstens den Sinn des Topics verstanden.
Es geht AUSSCHLIESSLICH darum, die Scheinlogik zu widerlegen, mit der Antrax eine ungleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung entdeckt zu haben meinte.

PS: Wenn dir jemand das Ziegenproblem mit dem potentiellen Gewinn von 1 Mio. € anbietet, denkst du wahrscheinlich auch nicht nach und reduzierst dadurch deine Gewinnchance - mit dem Argument: "Wenn die Nachbarin (oder irgendwer) zu einem ankommt, dir die möglichkeit gibt ohne jedlichen Einsatz an Geld zu kommen, dann ist es doch wohl total unlogisch dort noch großartige überlegungen zu machen" - sehr schlau, wirklich!
 

EmPi~LiZarD

Guest
Mein 1ter Post in diesem Thread bezog sich lediglich darauf, das ich es in kurzen Worten erklärt haben wollte, das man es wirklich Mathematisch irgendwie beweisen kann, der Anhang mit dem "wie ich es mir vorstelle wenn die alte kommt" war gar nicht relevant. Wenn du aber damit ankommst und dies als Hauptgrund meines Postings siehst, ist das nicht mein Problem... Du antwortest darauf dann antworte ich wieder darauf, ich habe darauf keine Diskussion herleiten wollen ob das ganze überhaupt theoretisch so wäre oder nicht..

ich wollte LEDIGLICH WISSEN wie man so etwas nachweisen kann, in einfachen schritten etc...

kanns sein das du dir manchmal einfach gründe suchst um über irgendwelchen deppensätze (wie meinen) diskutieren zu können?...
 

voelkerballtier

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juhu noch ein mathethread -_-

also xantos hat schon recht - der fehler liegt darin zu sagen im andern umschlag sind doppelt (2x) oder halb (0.5x) so viel weil das die beiden möglichkeiten zu zwei völlig anderen ''zufallsexperimenten'' gehören - bei dem ersten hast du einen gewinnerwartungswert von (x+2x)/2 beim andern von (x+0,5x)/2 - deshalb kannst du die beiden werte nich vergleichen und es ist auch klar, dass du am ende auf einen widerspruch kommst (hat xantos oben alles schon geschrieben im prinzip)

richtig gerechnet musst x als gesamtbetrag einführen - dann hast du möglichkeit A: die frau sagt dir den umschlag mit x/3 geld oder B mit 2x/3 geld weitere rechnung wird dich dazu führen, dass der erwartungswert immer bei x/2 liegt egal welchen umschlag du nimmst
:cool:
 

Antrax4

Guest
Original geschrieben von ~XantoS~


DU bist erst derjenige, der das Ganze abstrakt haben wollte, auf meine entsprechende Antwort aber nur ein desinteressiertes "Hä`???" übrig hatte.
Daraufhin wurde ich ein wenig beispielhafter, was du mir jetzt wieder vorwirfst, indem du "dennoch", also das Beispiel überschreibend" wieder mit der angeblichen Logik deines Tuns ankommst, was nichts anderes als eine Wiederholung deines Standpunktes ist.

Wenn du es raffen willst, dann lies es gründlich nach und denke - oder ich erklärs dir morgen im TS oder Skype - so aber macht das keinen Sinn mehr.

Ich möchte dich nocheinmal dadrauf aufmerksam machen, dass meine Berechnungen E[X]=1,25Y und E[Y]=1,25X völlig korrekt waren.
Mit deinen "Scheinargumenten" widerlegst du meine Berechnungen nicht, sondern machst dir lediglich klar, dass der Erwartungswert für beide Briefe gleich sein muß. Ansonsten solltest du mir explizit (mit Begründung) zeigen, welcher Schritt an meinen Berechnungen (für die Erwartungswerte) falsch ist.


MfG
Antrax
 
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Komm, erzähl uns doch einfach deine Lösung, dann erklärt uns Xantos noch, wie er eine Ziege in einen Briefumschlag stecken will und dann machen wir hier Feierabend.

:elefant:
 

Ketama)Djin(

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Also wenn du wirklich ein bischen nachdenken willst, dann schau dir lieber das Ziegenproblem an antrax.

Ansonsten kann ich mich nur diversen Vorrednern anschließen, die deine Argumentation widerlegt haben.
 

Antrax4

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Original geschrieben von Ketama)Djin(
Also wenn du wirklich ein bischen nachdenken willst, dann schau dir lieber das Ziegenproblem an antrax.

Ansonsten kann ich mich nur diversen Vorrednern anschließen, die deine Argumentation widerlegt haben.

Tut mir leid, aber du irrst dich.
Keiner hat meine Argumente bis jetzt widerlegt. Xantos prangerte fälschlicherweise an, dass ich einem der Umschläge den konstanten Wert X zuordnete, was aber nicht stimmte.
X kann durchaus eine von anderen Parametern (z.B. w) abhängige Zufallsgröße sein, also X(w).



MfG
Antrax
 

The_Company

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Original geschrieben von Antrax
Ich möchte dich nocheinmal dadrauf aufmerksam machen, dass meine Berechnungen E[X]=1,25Y und E[Y]=1,25X völlig korrekt waren.
Mit deinen "Scheinargumenten" widerlegst du meine Berechnungen nicht, sondern machst dir lediglich klar, dass der Erwartungswert für beide Briefe gleich sein muß. Ansonsten solltest du mir explizit (mit Begründung) zeigen, welcher Schritt an meinen Berechnungen (für die Erwartungswerte) falsch ist.
Deine beiden Erwartungswerte sind völlig korrekt, behandeln aber eine völlig andere Aufgabenstellung.

Unterschied:
Die Aufgabe: 2 Umschläge, einer enthält x, der andere 2x
Dein Ansatz: 2 Umschläge, einer enthält x, der andere 2x oder x/2
 
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