Ein paar Fragen zu mathematischen Begriffen

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Huhu, nach einiger Pause mach ich mal weiter in meinen Hobbymathebemühungen, allerdings sind mir ein paar Begrifflichkeiten entweder entfallen oder ich wusste sie nie
Folgendes:

Versteht man unter "wachsende Folge von Treppenfunktionen (auf Intervall I)", dass etwa f_n(x) >= f_m(x) für n > m in festem Punkt x aus I mit f_n ^= Folge von Treppenfunktionen?

Und ein hochgestelltes "+" bzw. "-" an Funktionsbezeichnungen (z.B. f) bedeutet doch lediglich, dass die Funktionswerte von f für f < 0 durch Null ersetzt werden und sonst unberührt bleiben (entsprechend fürs positive im "-" Fall), oder wird der Definitionsbereich derart eingeschränkt, dass die Funktion nur noch positive Werte annimmt(im "+" Fall)?

Danke

 

[ScorpEUs92]

Zu ersterem kann ich leider nicht helfen.

Zum zweifen:
Ich kenn da nur den Begriff Heavyside-Funktion, was wohl äquivalent mit deinem f^+ sein dürfte.
Und die Heavyside-Funktion ist für x größer gleich 0 als 1 definiert und x kleiner 0 als 0.

http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Danke für deine Hilfe

Hab bei Wiki nu folgendes gedfunden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lebes...ger_messbarer_Funktionen_und_Integrierbarkeit

zu ersterem habe ich die schwere vermutung das meine eingangsidee richtig ist. Bin jedoch noch etwas verwirrt über die Einführung des Lebesgue Integrals in dem Buch was ich nutze, ich komme nochmal drauf zurück

 

[Brusko651]

Es ist nicht ganz eindeutig, was mit "wachsende Folge von Treppenfunktionen (auf Intervall I)" gemeint ist, aber höchstwahrscheinlich das, was du gesagt hast, also dass die Folge an jedem festen Punkt x monoton wachsend ist. Das würde zumindest Sinn ergeben im Zusammenhang mit einer Definition des Integral Begriffs.

 

[SvenGlueckspilz]

Der Thread liegt zwar schon ein paar Tage brach, aber könnte noch von Nutzen für den TE sein, daher muss ich da was richtig stellen.

Zu ersterem kann ich leider nicht helfen.

Zum zweifen:
Ich kenn da nur den Begriff Heavyside-Funktion, was wohl äquivalent mit deinem f^+ sein dürfte.
Und die Heavyside-Funktion ist für x größer gleich 0 als 1 definiert und x kleiner 0 als 0.

http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion hat nichts mit dem f^+ oder f^- zu tun.
f^+ bezeichnet in aller Regel den Positivanteil der Funktion f, d.h.
f^+(x) = 0, falls f(x) < 0 und f^+(x) = f(x), falls f(x) > = 0.
f^- bezeichnet den in der Regel positiv definierten Negativanteil von f, d.h.
f^-(x) = - f(x), falls f(x) < 0 (bedenke, dass -f(x) in dem Fall positiv ist) und
f^-(x) = 0, falls f(x) >= 0.
Damit gilt f = f^+ - f^-
Falls der Negativanteil negativ definiert wurde, die letzte Formel entsprechend anders.
Das benutzt man zum Beispiel beim Aufziehen der Lebesgueschen Integrationstheorie, man kann dort die Integrierbarkeit und das Integral zunächst für positive Funktionen definieren. Im nächsten Schritt nennt man dann eine Funktion f integrierbar, wenn das zugehörige f^+ und f^- integrierbar sind und definiert
Integral f = Integral f^+ - Integral f^-.

Das mit der monotonen Folge war so richtig, wie kingcools gesagt hat.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

hey super danke Das bestätigt alles was ich mir zusammengereimt habe.

Eine Frage die ich bislang im Hinterkopf hatte:
Wieso fängt man mit positiven Fkt. an? Jede auf einem Intervall beschränkte Fkt. lässt sich doch zu einer positiven Umdefinieren durch Addition des Betrages des Minimums/infimums

 

[SvenGlueckspilz]

Keine Ursache

So richtig bin ich mir nicht sicher, was du mit dem Umdefinieren meinst. Du musst ja für eine beliebige Funktion sagen können, ob sie eine Lebesgueintegrierbare Funktion ist.
Das ist sie genau dann wenn ihr Positivanteil und ihr Negativanteil Lebesgueintegrierbare Funktionen sind. Das heißt, du hast das Problem jetzt auf diese beiden "Bausteine" deiner ursprünglichen Funktion reduziert. Für die Bausteine musst du es aber jetzt noch definieren. Die Bausteine sind in diesem Fall positive Funktionen. Man definiert also zunächst für die positiven Funktionen die Integrierbarkeit und das Integral und dann für beliebige Funktionen durch Zerlegung der Funktion in die Bausteine.

Übrigens, aus deinem Text lese ich, dass du fälschlicherweise annimmst, Lebesgue-integrierbare Funktionen müssten beschränkt sein, dem ist nicht so. Riemann-integrierbare Funktionen sind immer beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallen. Ist die Funktion unbeschränkt oder das Definitionsintervall so führt man beim Riemann-Integral den Begriff "uneigentliches" Integral ein. Beim Lebesque-integral macht man das nicht. Dort werden von Anfang an unendliche Intervalle und unbeschränkte Funktionen zugelassen.
Zum Beispiel ist f(x) = 1/Wurzel(x) auf [0,1] unbeschränkt, aber trotzdem Lebesgue-integrierbar (und nicht nur uneigentlich oder so).
Genauso ist f(x) = 1/x^2 auf [1, unendlich) Lebesgue-integrierbar.

Die Zerlegung in Positivanteil und Negativanteil wird oft gemacht, aber auch nicht immer. Es gibt unzählige Zugänge zum Lebesgueintegral.
Du wirst das kaum lernen können, indem du Wikipedia-Artikel durchstöberst, da solltest du schon ein geeignetes Buch auswählen. Hast du sowas? Da gibt es auch sicherlich Zugänge, die empfehlenswerter sind als andere.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hallo,

ich melde mich mal wieder:

Keine Sorge, ich lerne schon mit einem Buch (Heuser). Manche Symbole stammen eben aus Band 1 welchen ich vor einiger Zeit durchgearbeitet habe, daher sind mir manche eben nicht mehr präsent gewesen. (sich wiederholende Symbole werden leider im Anhang nicht erwähnt).
Auch der Ansatz mit den wachsenden Treppenfunktionen ist nun klar geworden (erleichtert den Beweis der Unabhängigkeit des "Grenzintegrals" der Treppenfunktionsfolgen).

Nochmal zu:

f(x) = 1/Wurzel(x) auf (0,1].

Das ist L-Integrierbar. f^2 ist jedoch nicht auf (0,1] L-Integrierbar.
Wie würde man eigentlich nachweisen, dass es keine Folge von Treppenfunktionen gibt die gegen f^2 konvergiert und deren Integralfolge beschränkt ist? Das stell ich mir recht mühselig vor, wurde ich dem Buch aber nicht weiter erläutert.

Dann wäre eine Bestätigung von folgendem Gedankengang nett:
Im meinem Buch wurde gesagt, dass L^+(0,1) kein linearer Raum sei, da z.B. f = 1/wurzel(x) in L^+(0,1) liegt nicht jedoch -1/wurzel/(x).
Dies ja offensichtlich deswegen, da jede _wachsende_ Folge von Treppenfunktionen die gegen -1/wurzel(x) konvergieren soll in einem Intervall (0,a) a> 0 unendlich sein müsste. Dann würde sie aber nicht fast überall gegen f konvergieren.



Und dann noch eine Frage zu einem anderen Thema:
Beim Beweis, dass das Innenprodukt zweier Funktionsfolgen aus L^2 gegen das Innenprodukt der Grenzfolgen konvergiert wird speziell auf die L^2-Norm Bezug genommen mit der Aussage, dass die Funktionenfolgen "fn,gn im Sinne der L^2-Norm gegen f respektive g konvergieren mögen".
Nun sind doch aber alle Normen äquivalent auf Vektorräumen endlicher Dimension, weswegen mich der Bezug auf eine spezielle Norm verwundert. Die Aussage wäre doch für jede andere Norm ebenso wahr, oder nicht?


Würde mich sehr über Anregungen freuen

 

[SvenGlueckspilz]

Zu der Existenz der Folge für f(x) = 1/Wurzel(x) auf (0,1]:
Es gilt f^2(x) = g(x) = 1/x.
Ich nehme mal an, in dem Buch wurde definiert, dass L^+ der Raum derjenigen Funktionen ist, für die es eine solche Folge gibt (die Notation L^+ ist nicht einheitlich wie auch der Zugang zum Lebesgue-Integral)
Wenn das so ist, dann wurde vermutlich auch gezeigt, dass dann die Integralfolge für alle monoton wachsenden Folgen, die fast überall gegen g(x) konvergieren beschränkt bleibt und jeweils gegen das gleiche konvergiert
(falls nicht, so könnte ich das auch kurz zeigen). Es würde daher reichen, eine einzige monoton wachsende Folge zu finden, die fast überall gegen g konvergiert und deren Integralfolge divergiert. Alternativ könnte man auch argumentieren, dass, wenn es eine solche Folge gibt, nach dem Satz der monotonen Konvergenz g integrierbar sein müsste. In dem Fall gilt
Integral g = lim a -> 0 Integral g von a bis 1 = lim a -> 0 log 1 - log a = unendlich, was ein Widerspruch ist.

Zur zweiten Frage: Hängt von der Definition einer Treppenfunktion ab, leider ist auch das nicht einheitlich. In allen Definitionen, die ich kenne, sind Treppenfunktionen aber insbesondere beschränkt und können damit nicht unterhalb von - 1/wurzel(x) liegen.

Zur dritten Frage: Sag mal, welche Norm du sonst auf L^2 kennst.
Die L^1- Norm ist dort zum Beispiel keine, da (je nach Maßraum) L^2 gar nicht in L^1 enthalten ist. Das heißt, einige L^2 Funktionen hätten sozusagen L^1-Norm unendlich. Zum Beispiel auf [1, unendlich) ist die Funktion 1/x in L^2, aber nicht in L^1.
Davon abgesehen, ist L^2 NICHT ENDLICHDIMENSIONAL. Das gilt sowieso für die meisten bekannten Funktionenräume, zum Beispiel für den Raum der stetigen Funktionen oder der stetig differenzierbaren Funktionen usw.
Ausnahme z.B. der Raum der Polynome bis zu einem endlichen Grad k.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Danke für deine Mühe

Also:
Zunächst hab ich natürlich, wie du ja angedeutet hast, nicht drüber nachgedacht bzw. gedankenlos angenommen, dass der L^2 Raum endlich dimensional wäre.

Wenn das so ist, dann wurde vermutlich auch gezeigt, dass dann die Integralfolge für alle monoton wachsenden Folgen, die fast überall gegen g(x) konvergieren beschränkt bleibt und jeweils gegen das gleiche konvergiert

Ja, wurde es. Das wollte ich mit dem einen Halbsatz in der Klammer sagen^^

Zur dritten Frage: Sag mal, welche Norm du sonst auf L^2 kennst.
Die L^1- Norm ist dort zum Beispiel keine, da (je nach Maßraum) L^2 gar nicht in L^1 enthalten ist. Das heißt, einige L^2 Funktionen hätten sozusagen L^1-Norm unendlich. Zum Beispiel auf [1, unendlich) ist die Funktion 1/x in L^2, aber nicht in L^1.
Davon abgesehen, ist L^2 NICHT ENDLICHDIMENSIONAL. Das gilt sowieso für die meisten bekannten Funktionenräume, zum Beispiel für den Raum der stetigen Funktionen oder der stetig differenzierbaren Funktionen usw.
Ausnahme z.B. der Raum der Polynome bis zu einem endlichen Grad k.

Ich kenne sonst keine Normen auf dem L^2. Hatte nur irrig angenommen, dass auch hier alle Normen äquivalent wären.
Übrigens kommen in meinem Buch Maßräume vieeeel später, die Einführung des Lebesgue-Integrals kam völlig ohne aus. (Oder wurden nicht so genannt)
Einzig messbare Funktionen wurden definiert.

Deine Antwort hat mich sehr geholfen, danke

 

[SvenGlueckspilz]

Keine Ursache

Wegen der Maßräume: Selbst wenn du jetzt nur das Lebesgue-Maß auf einem Intervall kennst, hast du ein unendlich großes Intervall, so ist der L^2 nicht im L^1 enthalten.
Bei einem endlichen Intervall schon.