conditional Expectations

[Benrath]

Ich such nen Buch / SKript whatever, am besten mit gerechneten Beispiel auch gerne auf OLS und ähnliches bezogen, wo genau die Sachen erklärt werden. Ich verzichte dabei gerne auf vorherige Erklärungen von Mengenlehre, Borel, Sigmamenge etc. Ich fänd Beispielaufgaben und Erklärugne zu Laws of iterated und total Expectations toll.

 

[Chili]

Jo, das wird alles im Greene Econometrics im Anhang erklärt und teilweise auch bewiesen. Allerdings dann keine Übungsaufgaben. Gibt halt 1000 Bücher dazu, auch wikipedia dürfte das abdecken.

Was willste denn konkret machen?

 

[Benrath]

nix konkretes, aber mich wurmt, dass ichs halt nie komplett verstanden habe, wahrscheinlich auch nicht verstehen werde. Wirklich anwendungsbezogen wichtig werden wirds bei meiner Promotion wohl nciht und den Kurs schaff ich auch ohne es 100% zu verstehen, aber naja jetzt hab cih ja zeit dafür also könnte ichs ja noch mal schauen..

Greene guck ich mal rein das hab ich auf dem rechner.

 

[xornado]

Hi Benrath, ich stecke gerade scheinbar in einer ähnlichen Kiste wie Du. (Promovierst Du in Finance?)
Falls Du das für Finance brauchst: Ich lese derzeit den Shreve - Stochastic Calculus for Finance (Volume I, Volume II), wo der Bedingte Erwartungswert einmal in diskreter und einmal in stetiger Zeit, inklu. iterated exp. etc. erklärt wird.

Persönlich finde ich, dass man mit dem Weg über Lebesgue-Maß, Borel-Maß etc. ein sehr gutes Verständnis für den bedingten Erwartungswert erhalten kann....

Beste Grüße und viel Erfolg,
X

PS: Wenn Du noch was Besseres findest, freue ich mich über kurzes Feedback!

 

[Chili]

Na wenn ihr das so mathematisch wollt kannste den Greene gleich wegstecken, dachte es geht um ein paar Definitionen usw?

 

[Bootdiskette]

öh ... kannst du deine Fragen vielleicht etwas konkreter/präziser stellen Benrath? Aus deinem Einstiegsposting kommt mir nämlich v.a. der Gedanke "Satz von Bayes" und gut.

Den Greene, den Childerich empfiehlt, finde ich persönlich ziemlich scheiße weil extrem knapp. Ist eben ein Nachschlagewerk und weniger Lehrbuch. Mein Liebling ist da "The Theory and Practice of Econometrics" (Judge, Lütkepohl et.al.), ansonsten soll der Mittelhammer Statistikschinken auch noch gut sein.

 

[Benrath]

lol nein mir gehts nicht um bayes und gut.

ich mein schon richtig, im asymptotischen bereich und wenn alles stochastisch ist. und die gesammten conditional expectations die dann nötig sind für Martingales und Martingale differences etc.

 

[Bootdiskette]

öh...
Martingales waren doch irgendwelche Random Walk Abarten? Also bzgl. Random Walks kann ich es dir sagen und habe auch ein Skript dazu wo es drinsteht. Das Problem ist eher, dass dazu noch ein zwei Übungsblätter gehören, und die Notizen die ich dazu gemacht habe müsste ich einscannen

könnte ich aber auch machen wenn du lieb bitte sagst

Es dreht sich in dem Scriptabschnitt (Econometric Methods II) strikt darum wie sich Random Walks verhalten. Schwache/Starke Stationarität, Erwartungswert/Varianz/Verteilung. Wenn Du nicht auf Martingales (Wikipedia sagt mir dass es ein Überbegriff für RW, Brownian Motion etc.pp. ist) festgelegt bist, sondern eine Behandlung von Random Walks und Brownian Motions reicht, dann hilft dir das.
Eine kurze Erklärung dazu: Grundsätzlich musst du für Erwartungswerte und Erwartete Varianz etc.pp. beim RW auch nur die normalen Formeln nutzen und dann durch einsetzen das ganze auflösen zusammenfassen usw.
Beim RW kommt dann z.B. raus dass der Erwartungswert stabil bleibt, aber die Varianz t*sigma ist, und das ganze damit eben nicht stationär. In meinen Übungsunterlagen wird das dann für alle möglichen Fälle durchdekliniert (AR, RW - jeweils mit/ohne deterministische Trends) und zielt wenn ich mich recht entsinne auf die 2SLS/3SLS und VAR/VECM Geschichte ab, bei der man ja v.a. nichtstationäre und stationäre Prozesse auseinanderhalten können muss.
Sollte das das sein was du suchst --> PN mit Emailadresse.


€: deshalb meinte ich 'werd präzise'. strikt genommen ist jeder schätzer ein bedingter erwartungswert. war leicht verwirrt.

 

[Benrath]

danke aber es geht genau um sowas und um die reine Herleitung, für die Anwendungen brauch ich ads nicht. Oben steht doch Law of Total expectations, Law of iterated expectations. ich kann vielleicht Montag mal ein Beispiel reinschreiben, bei welcher Herleitung z.b. ich besonders problem habe.

 

[xornado]

Hi Benrath, eventuell hast Du es überlesen: Der Shreve 2004 (Stochastic Calculus for Finance) und der Salih Neftci (Introduction to Stochastic Caluclus for Finance, oder so ähnlich) erklären das wunderbar, genau für die Themen die dich zu interessieren scheinen...

 

[Benrath]

oh sry hab ich überlesen. Ich hab zur zeit noch was von Ash, Basic Probability Theory, als gesamtes Buch gefunden, da wird auch erst alles angefangen mit Borelschen mengen etc.. ich bin mir nicht sicher in wiefern das wichtig ist fürs verständnis von conditional expectations, aber wollt mir auch das mal angucken.

Sonst schau ich mir die Tage mal genauer an, was du mir empholen hast.

Ich promovier in VWL und mach zur zeit einen Dkotorandenkurs "Econometrics for Research Students Part I" basierend auf dem Hayashi Buch, Introduction into econometrics. Da wird zwar auch alles erklärt, aber teilweise unbefriedigend find ich.

 

[Bootdiskette]

ah, siehste, ich bin auch VWLer... nimm den Judge Lütkepohl, bzw. das Lütkepohl Time-Series Buch. Alternativ als Querschnittsdings wenn du nicht im Studium schon eine Spezialisierung auf Öko gemacht hast: Hackl, Einführung in die Ökonometrie ist auch ganz gut.
wie gesagt: PN, und ich schick dir ein gutes skript sowie die eingescannte übung.

 

[crazyBlTCH]

also wenn es ein "richtiges" mathe buch sein soll klenke - wahrscheinlichkeitstheorie. oder nach wahrscheinlichkeitstheorie skripten verschiedener unis suchen. habe ein ganz gutes der vorlesung die ich damals gehört habe, bei interesse pn

 

[Bootdiskette]

Hm, ich befürchte als Volkswirt fängt man nicht so richtig viel mit echten Mathebüchern an. Auch weil es für die VWL-orientierte Statistik und Ökonometrie schon genügend spezialisierte Literatur gibt.
Außerdem kann man als echter Volkswirt keine richtige Mathematik sondern max. richtige Statistik.
(so geht's mir zumindest ständig wenn ich mit richtigen Mathematikern rede )

 

[Benrath]

@ xornado, du meinst das Buch oder? http://www.stat.berkeley.edu/users/evans/shreve.pdf ist aber scheinbar die Version von 1995, aber wird wohl nicht so den Unterschied machen?

Hab mal reingeguckt, ist mir dann aber doch zu technisch und finance lastig, das bringst mir jetzt für meinen Econometrics Kurs nicht wirklich.

Falls dich ne andere Quelle interessiert, die sich damit beschäftig, kannste mal hier gucken, habs mir aber auch noch nicht genauer angeguckt. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html


Ich bin z.B. zu doof genau nachzuvollziehen, wie das folgende zu Stande kommt, habs mal rauskopiert:



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Wie klappt das genau, dass auf einmal aus xi, xi-1 wird. Letzendlich bleibts halt traurig, dass wir VWLer nur anwenden, aber nicht komplett den Hintergrund verstehen, aber damit muss man wohl leben, wenn man nicht Mathe studiert hat und dann in VWL promoviert.

 

[xornado]

Ahh, ok... Let me think of it. Ich versuchs mal in Worten. Du hast einen Prozess x_i, und Du weisst ex ante, dass dieser Prozess ein Martingal ist. Darunter versteht man wie gesagt, dass Inkremente einen Erwartungswert von Null haben, gegeben wir stehen zeitlich vor diesem Inkrement. Nehmen wir also an, wir stehen gerade im Punkt s und schauen in Richtung des Zeitpunktes t.

(1) E(X_t | s)

Nun kannst Du ja X_t zerlegen, und zwar so:

(2) E(X_t - X_s + X_s | s)

Jetzt zerlegst Du den Erwartungswert (Linearität)

(3) E(X_t - X_s | s) + E(X_s | s)

hinter dem "|"-Symbol steht jetzt also die Filtration - die Bedingte Erwartung gegeben der Filtration zum Zeitpunkt s, sozusagen).

Zum Zeitpunkt s ist X_s natürlich, per Annahme/Definition s-messbar, d.h. wir kennen X_s zum Zeitpunkt s. Zum Beispiel kann ich ja JETZT auf die Börse schauen und kenne den DAX-Stand. Das Inkrement meines Martingals hat jedoch - wenn ich nach "vorne schaue", das erwartete Inkrement Null, d.h.

(4) E(X_t - X_s | s) + X_s
=0 + X_s
=X_s.

Folglich:

E(X_t|s)=X_s;
X_t ist ein Martingal.

War das - halbwegs - hilfreich??

 

[Bootdiskette]

hm... das kann man auch noch anders aufschreiben als in dem pic, aber mir ist grad zu spät und zu müde. so wie wir es gemacht haben isses etwas einfacher verständlich finde ich. das pic ist total übel erklärt, wie BWL-speak X_x

ganz kurz:

x_1 = x_0 + e_1
x_2 = x_0 + e_1 + e_2
X_t = x_0 + summe(e_i)
damit E(x_t) == E(X_0) == x_0 weil die fehler jeder für sich den erwartungswert 0 haben. das gilt aber nicht mehr wenn man die fehler miteinander multipliziert, was bei der varianz der fall ist. daher ist die varianz des random walk dann t*sigma^2. varianz ist nicht zeitinvariant --> kein stationärer prozess.
usw. usw.

ich kann dir nur wieder mein Skript für die Vorlesung Econometric Methods II anbieten, inklusive Übung und Mitschrift anbieten. Das ist gut verständlich und umfassend in dem Gebiet. Wenn du magst, kopier ich dir die ganze übung und schicks dir per post zum selbstkostenpreis. Einscannen ja, Dann aber nur die paar blätter bzgl. Random Walk.

Als Trost: Mathematiker haben normalerweise in Statistik auch nicht mehr drauf als Volkswirte die sich drauf spezialisiert haben

 

[xornado]

Bootdiskette,

aber dein beispiel ist doch zumindest schwach stationär, oder? Auch sind die Kovarianzen deiner Fehlerterme ja per Annahme Null (das, was du "miteinander multiplizieren" nennst). Trotzdem ist das was Du hier darstellst weiterhin ein Martingal, oder?

 

[Bootdiskette]

öh, wenn die varianz t*sigma^2 ist, und es kein AR-prozess ist, also auch nicht trendstationär, dann wird da der (A)DF ganz klar auf nichtstationär entscheiden. die definition von schwacher stationarität die ich gelernt hab ist: erste und zweite momente müssen zeitinvariant sein. das sind sie beim random walk ja nicht - erwartungswert bleibt gleich, weil man annimmt dass die fehlerterme eben den mittelwert null haben (zur cov hatte ich ja nichts geschrieben), die zweiten momente sind dann immer von der zeit abhängig, weil das produkt der fehlervektoren ê'ê = t*sigma != 0 (is witzigerweise eine einfache umformung des ML-Varianzschätzers ê'ê/T)

Martingal als begriff benutzen bei uns die finance-leute. bei den statistikern wird im wesentlichen der begriff random walk benutzt. deshalb bin ich lieber ein bisschen vorsichtig was aussagen zum Martingal angeht, die erklärung in dem pic oben erscheint mir trotzdem unnötig schwer verständlich.

[was die varianz angeht meinte ich die gesamtvarianz in der zeitreihe; nicht die kovarianz zwischen zwei elementen der zeitreihe. gesamtvarianz wächst mit t, und kovarianz mit dem abstand der beiden einzelglieder t-k.]

 

[Benrath]

Bootdiskette erklärt ja nur einen speziellen Fall, wenns um den rnd walk geht ist das ja auch klar. Das Bild ist ja generell und geht über Iterated expectations, wo ich die Herleitung nicht verstehe.

Dann ist glaub ich xornados besser, aber 4 ist mir dann unklar, wieso kannst du sagen das der erste teil der Gleichung 0 ist. Du könntest ja wieder auflösen und dann hättest du

(4) E(X_t - X_s | s) + X_s
=E(X_t | s) - E (X_s | s) + X_s
=0.

 

[xornado]

Hi Benrath,

das bei (4) ist eine Eigenschaft eines Martingals: E(X_t - X_s | s) = 0. Du kannst es auch so sagen: X_t ist nichts anderes als eine Vorhersage von X_u, also X_t = E(X_u | t). Wir "wissen" aber nur von Dingen zum Zeitpunkt s, also

(1) X_t = E(X_u | t)
(2) E(X_t | s) = E(E(X_u | t )|s) , was ja dein iterated expectations ist. Jetzt kannst Du das wieder, so wie oben, in eine Differenz zerlegen von der Du ja - per annahme (!) - weisst, dass ihr erwarteter Zuwachs Null gleicht. Et voilà.

Diese "Herleitung", also meine Formel (4) ist übrigens der "Standardansatz" was die Herleitung von E(X_t | s) = X_s angeht.. glaube ich.

@ Bootdiskette: Ja, ich hatte noch im Kopf dass "schwache Stationarität bedeutet ........ sowie Var(x_t)<\infty" aber das gilt ja hier nicht da für t->\infty gilt Var->\infty; da hast Du recht.

Übrigens sind Random Walk (ohne Drift) und Martingal das gleiche. Random Walk mit Drift übersetzt sich dann in Sub- oder Supermartingal.

 

[Bootdiskette]

@Benrath: Ihr lernt das anders vom Aufbau her scheint mir. Das mit den iterated expectations finde ich jetzt, wo ich wach bin auch relativ eingängig. Keine Kovarianz zwischen den einzelnen Elementen, also muss der Erwartungswert auch unabhängig sein.
Krass was unterschiedliche Didaktik so mit der Denke anrichtet

@xornado: Joar, ich hatte mir mal den Wiki-Artikel dazu durchgelesen. Wegen krasser Irrelevanz in meinem täglichen Umgang mit Statistik hab ich aber nicht sonderlich aufmerksam gelesen. Es blieb hängen: "Es ist fast das gleiche" ._.
Was ist dein Background eigentlich so? Me = VWL Schwerpunkt Ökonometrie/Statistik, stecke in der Diplomarbeit.

 

[xornado]

Ich bin jetzt Doktorand im Finance mit BWL-Hintergrund und noch so gefühlten 5 Fachbüchern über die Theorie der Finanzmärkte vor mir

 

[Benrath]

@ xornado ich glaube du meinst Martingale difference sequenc, das nur eine reine Martingale, daher.. aber ich schau morgen noch mal