Da sollte ganz unten eigentlich "c) in jeder umgebung liegen fast alle folgenglieder" stehen. Hab da irgendwie gefailt, nachdem ich mir erst konvergenzkriterien aufgeschrieben und dann zusammengepastet hab.
Das ergibt schon mehr Sinn
Aber d) muss auch noch ersetzt werden, denn nicht jede konvergente Folge ist monoton fallend.
Danke, das ist eine gute Idee!
Ich muss mal schauen, wie einfach man die Implikationen zeigen kann, ohne zu weit vom Thema und zu sehr in die Geometrie abzuschweifen, aber das klingt erstmal schonmal sehr vielversprechend. Thx!
So ganz einfach ist es leider nicht. Von a) nach c) oder umgekehrt ist vermutlich schwierig, ohne den Umweg über b) zu gehen (und den will man ja nicht gehen, sonst ist es ja kein Ringschluss).
Vermutlich am einfachsten ist iii) => ii) => i) => iii)
Davon ist nur die letzte Implikation schwierig.
Ok, ich hab auch die:
i) => iii) geht so:
Der Flächeninhalt ist 1/2 a * h, wobei h die Höhe zur Grundseite a ist. Zu zeigen ist h = b.
Je nach Dreieck muss man jetzt die Grundseite a etwas verlängern (nach rechts oder links) oder auch nicht, damit h auf die verlängerte Grundseite fußt.
Das Stück x sei das Stück vom Eckpunkt zwischen a und b (= Punkt C) und dem Schnittpunkt zwischen dem verlängerten a und h (Punkt D). Wenn C links von D liegt (OBdA sei a die untere Seite), dann zähle ich x positiv, sonst negativ. (Wenn man a nach links verlängern muss, dann ist x länger als a, aber negativ. Muss man a nach rechts verlängern, so ist x positiv. Muss man a nicht verlängern, so ist x negativ oder 0).
In allen Fällen gilt nach Pythagoras:
x^2 + h^2 = b^2 und
c^2 = (a+x)^2 + h^2, wobei man in der zweiten Gleichung wirklich aufpassen muss, dass x das richtige Vorzeichen hat.
Außerdem gilt x^2 + h^2 + a^2 = a^2 + b^2 =c^2 nach Voraussetzung.
Also (a+x)^2 +h^2 = x^2 + h^2 + a^2.
Es folgt (a+x)^2 = x^2 + a^2, woraus wiederum x = 0 folgt und damit b = h, also F = 1/2 a * b.
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