Banale Stochastik-Frage

[petersilieistgeil]

Es wird aus einer Schale mit 10 Kugeln, davon 9 weiße und 1 rote, 1 Kugel gezogen. Von den Schalen habe ich zwei (oder n) Stück.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote (bei zwei bzw. n Schalen) zu erwischen?

a) 1/10 + 1/10 = 0,2

b) 1 - (9/10 * 9/10)= 0,19

Ich steh auf dem Schlauch.

Antwort a kann ja nur falsch sein, aber warum?
(wenn ich 10 Schalen hätte, müsste es ja sonst 1 sein, kann es nicht).

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

1/10 + (1-1/10)*1/10 = 0.1 + 9/100 = 0.19

Deutung: Der erste Summand gibt die Wahrscheinlichkeit der ersten Ziehung an. Zieht man eine rote Kugel so hat man das gewünscht Ergebnis. Zieht man keine so hat man noch eine Chance beim Ziehen aus der zweiten Schale.
(1-1/10) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit mit welcher die erste Ziehung "fehlschlägt" und von dieser Wahrscheinlichkeit entspricht der zehnte Teil der Wahrscheinlichkeit "nach" dem ersten Versuch.

Erweiterung auf n Schalen:
Für jede weitere Ziehung muss beim dazukommenden Term von 1 die Wahrscheinlichkeit bei n-1 Schalen abgezogen werden. Daher auch (1-1/10) beim zweiten Term, da für eine Schale eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/10 vorliegt.

 

[SvenGlueckspilz]

Wenn du zwei Ereignisse A und B hast, dann gilt die Formel:

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B)

Die Ereignisse sind hier:
A: rote Kugel bei Ziehung 1
B: rote Kugel bei Ziehung 2

Damit A oder B: rote Kugel bei mindestens einer Ziehung
A und B: bei beiden Ziehungen rote Kugel

P(A oder B) = 1/10 + 1/10 - 1/10 * 1/10 = 0,19

Die Wahrscheinlichkeiten addieren sich hier nicht einfach so, da sie sich nicht gegenseitig ausschließen, also P(A und B) nicht 0 ist.

Wenn du dagegen einen Würfel hast und willst die Wahrscheinlichkeit haben, dass er eine 1 oder 2 zeigt, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für 1 und für 2 addieren, weil der Würfel nicht gleichzeitig beide anzeigen kann.

 

[sesslor]

Sehr einfach geht es über die Gegenwahrscheinlichkeit (falls es um die Wahrscheinlichkeit geht, MINDESTENS eine rote zu erwischen):
P(n) = 1 - (1 - 1/10)^n

(1 - 1/10)^n ist einfach die Wahrscheinlichkeit, nur schwarze zu ziehen. Das komplementäre Ereignis ist mindestens eine rote, also einfach von 1 abziehen.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich glaube, es ging ihm mehr darum zu verstehen, warum man die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren kann. Das erkennt man eher an meiner Formel.

 

[Brusko651]

alle drei antworten sind gut, aber sesslors formel hat petersilie bereits im op geschrieben.

 

[sesslor]

Ja, aber er wusste da nicht, dass es die richtige Antwort ist. Außerdem wars nicht generalisiert für beliebige n.

 

[MegaVolt]

Ich glaube, es ging ihm mehr darum zu verstehen, warum man die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren kann. Das erkennt man eher an meiner Formel.

Dazu evtl. eine kurze Herleitung:

Man nehme zwei Ereignisse, A und B, die jeweils in Ausführung 1 und 2 auftreten können.

Wahrscheinlichkeitsbaum ist dann:

A1 B1
A1 B2
A2 B1
A2 B2

Oder im Zahlenbeispiel

0,9 * 0,9 = 0,81
0,9 * 0,1 = 0,09
0,1 * 0,9 = 0,09
0,1 * 0,1 = 0,01
Check: 0,81 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 1, passt.

Sei nun weiße Kugel Ereignis 1, rote Kugel Ereignis 2.
Mindestens eine rote Kugel ist also alles wo eine 2 vorkommt, also die unteren 3 Zeilen (0,09+0,09+0,01 = 0,19), oder:

P(2) = A1*B2 + A2*B1 + A2*B2

Da gilt A1 = 1-A2 und B1 = 1-B2 kann man dies nun einsetzen, auflösen und erhält:

P(2) = A2 + B2 - A2*B2

Das ist die o.g. Formel. Der Wahrscheinlichkeitsbaum löst auch die ursprüngliche Fragestellung. Bei wenigen Ereignissen ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum eigentlich immer schön und anschaulich und gibt am zuverlässigsten die richtige Antwort mit gleichzeitiger Plausibilisierung.

 

[FORYOUITERRA]

auch wenn ich den rest nicht 100% nachvollziehen kann von dir:
die zeile A1=1-A2 ist schlichtweg falsch und macht keinerlei sinn für ereignisse.

 

[MegaVolt]

Doch macht es.
Eine Kugel kann nur rot oder schwarz sein. Die Wahrscheinlichkeit, in einer Ziehung A entweder die Farbe rot (1) oder schwarz (2) zu ziehen ist somit 1.
Also gilt A1 + A2 = 1
Damit gilt auch A2 = 1-A1
Entsprechend B2 = 1-B1
Verwirrend ist hier vielleicht, dass die 1 und 2 hinter dem B bei B1 / B2 Ereignisse beschreiben, die 1 in der Gleichung eine echte Zahl ist. Da habe ich einfach gehofft, dass es aus dem Kontext heraus klar ist

Genaugenommen habe ich auch nicht präzise zwischen Ereignissen und Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt unterschieden. Ganz präzise hätte ich also P(A2) = 1 - P(A1) etc. schreiben müssen. Auch hier ist aber hoffentlich aus dem Kontext heraus klar, wann Wahrscheinlichkeiten gemeint sind, da noch überall Ps und Klammern herum zu bauen oder neue Variablen einzuführen macht es nicht wirklich leserlicher / verständlicher

 

[FORYOUITERRA]

aus dem kontext ist es natürlich klar. für wahrscheinlichkeiten gilt es, für ereignisse natürlich nicht.
die konvention ist aber nunmal, dass mit A_i ereignisse und mit p_i oder P(A_i) die zugehörigen wahrscheinlichkeiten abgekürzt werden.

 

[MegaVolt]

aus dem kontext ist es natürlich klar. für wahrscheinlichkeiten gilt es, für ereignisse natürlich nicht.
die konvention ist aber nunmal, dass mit A_i ereignisse und mit p_i oder P(A_i) die zugehörigen wahrscheinlichkeiten abgekürzt werden.

Pfft Konventionen.

Man nehme zwei Ereignisse, Ützgür und Oma, die jeweils in Ausführung Antenne und StarCraft auftreten können. Ützgür-Antenne habe die Wahrscheinlichkeit Juhu(Ützgür-Antenne) = H4b8, die Wahrscheinlichkeit Juhu(Ützgür-StarCraft) sei H8b4, Juhu(Oma-Antenne) = B8h4 und Juhu(Oma-StarCraft) = B4h8.

Der Wahrscheinlichkeitsbaum ist dann:
H4b8 B8h4
H4b8 B4h8
H8b4 B8h4
H8b4 B4h8

Oder im Zahlenbeispiel

0,9 * 0,9 = 0,81
0,9 * 0,1 = 0,09
0,1 * 0,9 = 0,09
0,1 * 0,1 = 0,01
Check: 0,81 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 1, passt.

Sei nun weiße Kugel Ereignis Antenne mit Juhu(Ützgür-Antenne) = 0,9, rote Kugel Ereignis StarCraft mit Juhu(Ützgür-StarCraft) = 0,1.
Mindestens eine rote Kugel ist also alles wo StarCraft vorkommt, also die unteren 3 Zeilen (0,09+0,09+0,01 = 0,19), oder:

Juhu(StarCraft) = Juhu(Ützgür-Antenne)*B4h8 + B8h4*Juhu(Ützgür-StarCraft) + Juhu(Oma-StarCraft)*H8b4

Da gilt Juhu(Ützgür-Antenne) = 1-H8b4 und B8h4 = 1-Juhu(Oma-StarCraft) kann man dies nun einsetzen, auflösen und erhält:

Juhu(StarCraft) = Juhu(Oma-StarCraft) + H8b4 - B4h8*Juhu(Ützgür-StarCraft)

Das ist die o.g. Formel. Der Wahrscheinlichkeitsbaum löst auch die ursprüngliche Fragestellung. Bei wenigen Ereignissen ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum eigentlich immer schön und anschaulich und gibt am zuverlässigsten die richtige Antwort mit gleichzeitiger Plausibilisierung.

You just got math'd

 

[FORYOUITERRA]

allerdings, das tat ich wohl:
auch ich sehe nun ein, dass deine zuerst nicht weiter definierten abkürzungen mal viel besser als die gängige konvention ist.

dein dargestellter baum ist übrigens im sinne der mathematik kein baum.

 

[Brusko651]

Ich denke man kann die bisherigen Überlegungen ganz gut zusammenfassen durch

P(Megavolt = noob) > 0.96.

Dabei bezeichnet die Zufallsvariable Megavolt das Ergebnis der ersten Ziehung und noob bezeichnet das Ergebnis der zweiten Ziehung und wir haben, um das Beispiel ein bisschen realistischer zu gestalten, nicht 9 weisse und 1 rote Kugel, sondern 48 weisse und 1 rote.
You just got mathazinga'd!

 

[MegaVolt]

Ne, das geht besser. Und auf sowas dann auch noch eine TBBT-Referenz
Nimm dir etwas Zeit und versuch es nochmal, vielleicht kannst du es ja noch retten.

 

[SvenGlueckspilz]

Das Niveau in dem Thread sinkt langsam aber sicher auf Gender-Studies Niveau.

 

[zoiX]

Noch find ichs ganz lustig.

 

[SvenGlueckspilz]

Lustig geht auch ohne Niveau