Austauschsatz

[PerDitioN]

Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Austauschsatz.

Sei V ein K-Vektorraum, v1,...,vn eine Basis von V und w1,...,wm eine linear unabhängige Folge aus V
Eine Aussage des Satzes ist, dass m<=n. Woher kommt das? Irgendwie steh ich da auf dem Schlauch. In meinem Fischer steht nochmal extra drin, dass das eine Folgerung und keine Voraussetzung ist, aber woraus das folgt, steht dummerweise nicht drin...
Kann mir jemand helfen?

 

[ROOT]

Ganz anschaulich:
Es ist deswegen n >= m, weil du aus einem Vektorraum der Dimension n (d.h. Basis hat Länge n) nicht mehr als n lin. unabhängige Vektoren wählen kannst.

Woraus das folgt steht im Fischer sehr wohl drin, das ist der Induktionsbeweis, der auf Satz 1.5.2. Punkt iv) zurückführt.

 

[PerDitioN]

Genau an diesem Punkt hängt es gerade bei mir. 1.5.2 Punkt (iv) besagt doch nur, dass man eine bereits gegebene Basis nicht verlängern kann, ohne dass dabei die lineare Unabhängikeit verloren geht. Aber das heißt doch nicht, dass in dem Vektorraum keine linear unabhängige Folge existieren kann, die länger ist als die Basis.

 

[ROOT]

Doch, das folgt nämlich aus dem Austauschlemma.

Du kannst dir deine Basis sukzessive in ein beliebiges linear unabhängiges System gleicher Länge austauschen, es bleibt eine Basis. (Austauschlemma)
Hängst du einen weiteren Vektor an, geht die lineare Unabhängigkeit verloren (1.5.2 iv))

 

[PerDitioN]

Oh man, stimmt, du hast recht
Naja, wer lesen kann ist wohl mal wieder klar im Vorteil Schande über mich