Aufleitung [Analysis]

[Jumbala]

Hi

es geht um folgende Funktionsschar:

Ft(x) = 2t / (e^(tx)+e^(-tx))

Ich scheitere beim Versuch durch Substiution zu integrieren (Grenzen [0,a]) , das Ergebniss hab ich mithilfe von Derive aber ich möchte gerne wissen wie ich das von Hand aufleiten kann. Kann mir jemand helfen?

Ergebniss vom Aufleiten ist: 2*Atan(e^(tx))

 

[ipskab]

schonmal auf das "Schritt anzeigen" gedrückt? da kommen immer viele hilfreiche tipps und ganz allgemein integrationsregeln... mein derive spuckt da folgendes aus:

Den weiteren Schritt (von #4 auf #5) kann ich etz auf anhieb nicht erklären, dürfte aber auch eine integrationsregel sein und in einem formelwerk stehen

 

[Jumbala]

erklär mir wie #4 zustande kommt. ich steig da nicht hinter.

 

[ipskab]

es wurde mit e^(tx) im zähler und nenner erweitert

 

[General Mengsk]

4->5 ist einfach Substitution:

Dann Nutzung des bekannten Integrals:

Durch die Substitution kommt der 1/t-Faktor, der das fehlende t beim Ersetzen des Differentials dx -> dy nötig war. Schließlich wieder y einsetzen und fertig.

 

[Jumbala]

ahh danke Kab, das war ja einfach nur erweitern. thxthx hatte da wohl nen brett vorm kopf. =)

und danke mengsk, ich wusste das dieser schritt substitution ist aber ich wusste nichtmehr wie das geht. ich habs jetzt mal durchgerechnet, könnt ja mal kontrollieren:

(sorry latex ist mir heute abend echt zu kompliziert um das zu lernen
)

F(x) = 2t * Int[ (e^(tx) / (e^(2tx) +1)) dx ]

Ich beginn hier einfach mal, bis hierher solltes ja klar sein. Dann substituiere ich folgendermaßen:

g(x) = y = e^(tx)
g'(x) = dy/dx = te^(tx)
=> dx = dy / te^(tx)

Für das Integral folgt wenn ich dx ersetze und e^(tx) substituiere:

2t* Int[ (y / ((y² +1)* ty)) dy]

das 1/t ziehe ich vor das integral und kürze, im integral kürze ich nenner und zähler um y:

2* Int [ (1 / (y² +1)) dy]

Laut Integrationsregel folgt dann:
2*[Atan(y)]

Rücksubstitution:
2*[Atan(e^(tx))]

et voila =) dürften keine fehler drin sein oder? thx and euch

 

[General Mengsk]

passt

 

[sinusx]

In welchem Bundesland lernt man zum Integrieren/Stammfunktion suchen "Aufleiten" zu sagen? Ich frage, weil das ja definitiv kein Fachbegriff ist.
Ich hab's auch in meinem Umfeld noch nie gehört, nur im Internet gelesen..

 

[HOAPT]

in nrw zum beispiel, war zumindest bei uns so

 

[General Mengsk]

Ich bin in NRW zur Schule gegangen und da hat das kein Mensch gesagt. Also das ist wohl eher ein unter manchen Schülern als Merkhilfe favorisierter Satz, den u.U. einige Lehrer aufgegriffen haben. Meine haben es jedenfalls nicht verwendet.

 

[Jumbala]

Ja Fachterminus ist wohl integrieren, wir sagen dazu aber auch aufleiten, genauso wie wir zu differenzieren ableiten sagen^^
NRW geh ich zur schule
Ist einfach einfacher zu merken, und haben das ja an einfachen beispielen gelernt, z.b. Int[f(x) = x²] = 1/3 x^3, da wird ja im exponenten +1 gerechnet deswegen aufleiten

 

[Antrax4]

Einige kennen den Begriff "aufleiten" nicht und behaupten fälschlich, er sei kein Fachbegriff bzw. einfach nur "unschön".
In den alten Ausgaben Höhere Mathematik von Mangoldt/Knopp steht auch, dass die Bezeichnung "stetig differenzierbar" (für differenzierbar mit stetiger Ableitung) sprachlich unschön ist. Heute steht sie in jedem Analysisbuch.
Der Begriff "Aufleiten" mach Sinn! Deswegen darf er benutzt werden.
MfG
Antrax

 

[maziques]

der begriff suggeriert aber, das integrieren die genaue inverse vom ableiten ist. das ist aber nur die halbe wahrheit.

 

[MesH]

Sofern man Aufleiten aber als 'Allgemeine Stammfunktion bestimmen' interpretiert, wie hier geschehen so wie ich das seh..

 

[Antrax4]

Original geschrieben von maziques
der begriff suggeriert aber, das integrieren die genaue inverse vom ableiten ist. das ist aber nur die halbe wahrheit.

Man kann Aufleiten als Inverse Abbildung vom Ableiten auffassen. Sollte jeder Student im ersten Semester wissen. Das Stichwort lautet "Homomorphiesatz".

 

[maziques]

Original geschrieben von Antrax4

Man kann Aufleiten als Inverse Abbildung vom Ableiten auffassen. Sollte jeder Student im ersten Semester wissen. Das Stichwort lautet "Homomorphiesatz".

ehrlich gesagt, überfordert der zugehörige wikipedia-artikel mich armen ingenieur ein wenig.
ich dachte halt, für die existenz einer inverse muss eine abbildung notwendigerweise injektiv sein. das ist ableiten aber nicht.

ich war nur immer der auffassung, dass es keine inverse im streng mathematischen sinn ist, sondern eher im anschaulichen.

edit: und "Homomorphiesatz" klingt nicht nach erstem semester, sry. wohl nichtmal bei mathematikern.

 

[sinusx]

Original geschrieben von Antrax4
Einige kennen den Begriff "aufleiten" nicht und behaupten fälschlich, er sei kein Fachbegriff

"Aufleiten" ist KEIN Fachbegriff. Es ist, wie Mengsk sagt, eine Eselsbrücke für Schüler eben weil er Sinn macht. Außerdem habe ich das nicht verurteilt, dass man das so nennt, sondern nur nach der Herkunft gefragt.

Andersrum gefragt: nennt mir ein Fachbuch, in dem das Wort vorkommt...

 

[voelkerballtier]

fachbegriff ja oder nein ist doch völlig egal - solange man weiß was gemeint ist spielt das doch keine rolle.
Das einzige Problem an der Verwendung von "Aufleiten" was ich sehe, ist, dass diese Begrifflichkeit suggeriert, dass man jede "Aufleitung" wieder ableiten kann - und das stimmt halt nicht (im Prinzip genau was maziques sagt). In der Schulmathematik spielt das natürlich keine wirkliche Rolle - bei exakterer Betrachtung würde ich jedoch auf den Begriff "aufleiten" verzichten

 

[sinusx]

Natürlich ist es egal. Ich habe mich nur angegriffen gefühlt, weil Antrax dachte, ich wäre so ignorant und würde irgendwas behaupten, weil ich den Begriff nicht mag oder kenne.

Sehr schöne Erläuterung übrigens von dir.

 

[ROOT]

Original geschrieben von maziques
edit: und "Homomorphiesatz" klingt nicht nach erstem semester, sry. wohl nichtmal bei mathematikern.

2. semester lineare algebra

 

[shaoling]

Mathematiker sind eh immer zu spät.

Die Aussage des Homomorphiesatzes für Vektorräume ist aber Stoff der ersten Semesterhälfte LinA I.

Der allgemeine Satz dagegen wird so explizit wohl nicht mal in vielen LinA-II-Vorlesungen behandelt.

 

[maziques]

das is nun auch alles scheiss egal, wir stellen gemeinsam fest, dass kein mensch, der je in seinem leben eine mathevorlesung besucht hat, aufleitung sagt.

danke.

 

[mfb]

"Aufleiten" tut so, als hätte ableiten etwas mit "herab"/"runter" zu tun. Das Ableiten ist aber ein "daraus herleiten". Und davon kann man einfach kein naheliegendes Gegenteil bilden.

=> der Begriff ist unsinnig, und er wird auch nur von paar verwirrten Lehrern und manchen Schülern (v.a. dieser Lehrer ) benutzt.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von mfb
"Aufleiten" tut so, als hätte ableiten etwas mit "herab"/"runter" zu tun. Das Ableiten ist aber ein "daraus herleiten". Und davon kann man einfach kein naheliegendes Gegenteil bilden.

=> der Begriff ist unsinnig, und er wird auch nur von paar verwirrten Lehrern und manchen Schülern (v.a. dieser Lehrer ) benutzt.

wenn ich x^5 ableite geh ich eine potenzstufe nach unten - beim "aufleiten" wieder hoch - eine analogie mit "herab" und "herauf" ist durchaus vorhanden. Unisinnig ist der Begriff nicht, aber problematisch, wie ich oben darlegte.
"daraus herleiten" macht da für mich viel weniger sinn - denn integrieren ist auch "daraus herleiten", also warum heißt das nicht ableiten?

 

[jean2345]

Original geschrieben von maziques
das is nun auch alles scheiss egal, wir stellen gemeinsam fest, dass kein mensch, der je in seinem leben eine mathevorlesung besucht hat, aufleitung sagt.

danke.

Ich habe ein paar Dutzend Mathevorlesungen besucht und sage "Aufleiten" (zugegebenermaßen ein wenig situations- und personenabhängig) und finde es extrem geil.

@Voelkerballtier: Wieso kann man eine "Aufleitung" nicht ableiten?? Dann verstehst Du wohl was anderes darunter als ich.

Zum Homomorphiesatz: Bis auf wenige absolute Standards (Vektorraum, Basis, etc) finde ich es ziemlich unsinnig zu erzählen, welchem Semester ein gewisser Stoff angehört. Das ist einfach völlig Vorlesungsabhängig. Ich persönlich würde den Homomorphiesatz z.B. amehesten der Algebra 1 zuordnen. Die entsprechende Version mit Quotientenvektorräumen (die ich auch nicht mit Homomorphiesatz bezeichnen würde) empfinde ich z.B. als eher optional, hatte es selber auch nur nebenbei auf einem Übungszettel in LINA 2.
Allgemein können sich zwei Vorlesungen mit gleichem Namen nahezu beliebig unterscheiden.

 

[sinusx]

Original geschrieben von jean2345

@Voelkerballtier: Wieso kann man eine "Aufleitung" nicht ableiten?? Dann verstehst Du wohl was anderes darunter als ich.

Weil der konstante Anteil verloren geht. Die Abbildung hat einen Defekt.

 

[jean2345]

Original geschrieben von sinusx


Weil der konstante Anteil verloren geht. Die Abbildung hat einen Defekt.

Das beantwortet nicht meine Frage, im Gegenteil. Wenn du sagst, der konstante Anteil geht verloren, vermute icht, dass du ableitest. Also kannst Du die "Aufleitung" ableiten? Gut, ich auch.
Und die Abbildung ist vielleicht nicht so schön wie wir möchten, aber Defekt klingt doch stark diskriminierend .

 

[sinusx]

Nee, das meinte er nicht. Er meinte, dass eine Funktion nicht durch differenzieren und anschließendem integrieren reproduziert werden kann. Jedenfalls nicht ohne weiteres (Randbedingungen?).

 

[jean2345]

Das ist natürlich richtig, aber oben zwischen Deinen posts schreibt Voelkerballtier halt was anderes. Vielleicht war es ja nur ein Tippfehler.

 

[sinusx]

Schon, aber in Verbindung mit dem Kommentar "im Prinzip genau was maziques sagt", hat sich mir der Sinn erschlossen und ich habe da nicht weiter drüber nachgedacht.

 

[voelkerballtier]

nein - ich meinte, dass es Funktionen gibt, deren Stammfunktion nicht differenzierbar ist - zB die Stufenfunktion: f(x) = 1 falls |x|<1, 0 sonst
Die ist problemlos integrierbar, das Ergebnis ist aber nicht differenzierbar. Also ist nicht jede "Aufleitung" ableitbar.

 

[jean2345]

Dann hab ich dich ja doch richtig verstanden. Das Problem könnte im Unterschied zwischen integrieren und Stammfunktion bilden liegen (bin nicht sicher). Weiter oben wurde das auch schon etwas durcheinander geworfen. Jedenfalls kann man eine Stammfunktion (das verstehe ich unter "Aufleitung") per Definition ableiten (nach den Definitionen, die ich kenne). Wann genau eine integrierbare (auf welchem Bereich?) Funktion eine Stammfunktion besitzt, weiß ich jetzt nicht ganz genau, hinreichend ist glaube ich Stetigkeit (Hauptsatzt der Differential- und Integralrechnung?). Naja, letzlich wieder eine Frage, wer was genau meint .

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von jean2345
Dann hab ich dich ja doch richtig verstanden. Das Problem könnte im Unterschied zwischen integrieren und Stammfunktion bilden liegen (bin nicht sicher). Weiter oben wurde das auch schon etwas durcheinander geworfen. Jedenfalls kann man eine Stammfunktion (das verstehe ich unter "Aufleitung") per Definition ableiten (nach den Definitionen, die ich kenne). Wann genau eine integrierbare (auf welchem Bereich?) Funktion eine Stammfunktion besitzt, weiß ich jetzt nicht ganz genau, hinreichend ist glaube ich Stetigkeit (Hauptsatzt der Differential- und Integralrechnung?). Naja, letzlich wieder eine Frage, wer was genau meint .

Ja entschuldige, der Begriff Stammfunktion war nicht korrekt verwendet - jede Stammfunktion ist per Definition differenzierbar. Afaik ist Stetigkeit auf einem Intervall hinreichend für die Existenz der Stammfunktion. Integrale können aber auch existieren wenn es keine Stammfunktion gibt und an der Stelle mach der Begriff Aufleitung mMn Probleme. Aber du hast schon recht - das Problem liegt im Unterschied zwischen integrieren und Stammfunktion bilden und wer was wie meint.